2015年全国高中数学联赛加试(A卷)平面几何题的证明欣
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凌惠明
【期刊名称】中学数学月刊 【年(卷),期】2016(000)001 【总页数】2
2015年全国高中数学联赛加试(A卷)第3题(平面几何题)以简洁的图形、丰富的内涵，为考生发挥聪明才智留下了广阔的空间．本文提供4种证明方法，供大家欣赏．
试题 如图1，△ABC内接于圆O，P为上一点，点K在线段AP上，使得BK平分∠ABC．过K，P，C三点的圆Ω与边AC交于点D，连结BD交圆Ω于点E，连结PE并延长与边AB交于点F．证明：∠ABC=2∠FCB．
在分析的过程中，大多数人采用的思路是欲证得∠ABC=2∠FCB，等价于证明点B，K和FC与⊙Ω的交点L，三点共线．
平面几何中的三点共线指的是三个及以上的点在同一条直线上．证明三点A，B，C共线的方法很多，常从以下几个方面考虑.
从角考虑：如图2，设B在线段XY上，证明∠ABX+∠XBC =π或∠ABX=∠CBY(对顶角相等的逆定理)．而在图3中，应改为证明∠ABX=∠CBX． 从线考虑：证明AB，AC与 同一条直线平行(或垂直)，或证明AB+BC=AC． 从有关结论考虑：梅涅劳斯(Menelaus)定理、Simson线等． 从形考虑：证A，B，C三点所成的三角形面积为零，或利用位似． 从方法上考虑：可考虑反证法、同一法、解析法等．
组委会提供的方法1就是利用∠FLK=∠FLB相等来证明B，K，L三点共线．是否还可以从其他角度来证明这三点共线呢？下面提供几个不同的角度证明三点共线的方法供大家欣赏．
方法1 设CF交⊙Ω于点X，分别延长CF，PF交⊙O于点Y，J．连结AY，KX，EX，PC(图4)．由两圆相交的性质可知∠YJF=∠FCP=∠FEX，则EX∥JY，∠AJF+∠ACP=180°，∠DEP+∠ACP=180°，则∠AJF=∠DEP，得EB∥JA，同理KX∥AY．由平行线分线段成比例定理可得从而得AY∥BX．又因为KX∥AY，BX∥AY，所以B，K，X三点共线．根据A，B，P，C四点共圆及L，K，P，C四点共圆，得∠ABC=∠APC=∠FXK=∠FCB+∠XBC．又由BK平分∠ABC知从而∠ABC=2∠FCB．
说明 上述方法是利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行来证得三点共线的，思维过程简洁，值得体会！
方法2 记CF交⊙Ω于H(图5)．由GK·GP=GH·GC，得由FH·FC=FE·FP，得于是 又又
结合∠APC=∠ADK，∠PED=∠PKD=180°-∠AKD，∠FPC=∠ADE，得又从而则即从而B，K，H三点共线．
根据A，B，P，C四点共圆及H，K，P，C四点
共圆，得∠ABC=∠APC=∠FHK=∠FCB+∠HBC．又由BK平分∠ABC知从而∠ABC=2∠FCB．
说明 上述方法是利用梅涅劳斯(Menelaus)定理的逆定理来证明三点共线的，过程较为复杂，在有限的时间内，能紧扣目标解决问题，也体现出较强的思维能
力与转化能力.
那么有没有不用证三点共线的解决问题的方法呢？下面提供一种个人认为比较简洁的方法，供大家欣赏．
方法3 连结FK并延长交⊙Ω于点S，连结BS，BP，SC，PC(图6)．因为∠ABC=∠APC，即∠FBC=∠KPC=∠KSC，所以F，B，S，C四点共圆．又因为∠ABP=180°-∠ACP=180°-∠DCP=∠DEP=∠FEB，所以△FBE∽△FPB．从而可得即FB2=FE·FP，又FE·FP=FK·FS，则FB2=FK·FS，即可得△FBK∽△FSB，则∠FBK=∠FSB.又∠FSB=∠FCB，则∠FBK=∠FCB，从而∠ABC=2∠FCB． 这道平面几何题尽管是首次排在加试的第3题(之前都是排在加试第1题)，但是总体上来说还是延续了最近几年联赛对学生平面几何方面的能力上的要求，也就是用基本的知识、定理和方法解决问题，是一道非常好的赛题．若要说美中不足之处，估计就在于如果学生知道了帕斯卡定理的话，就能直接由该定理得到点B，点K和FC与⊙Ω的交点L，三点共线了，难度也就大大降低了(该证法具体可参看由组委会提供的方法2，这里不再赘述)．
2015年全国高中数学联赛加试(A卷)平面几何题的证明欣赏
