函数与导数
1. 已知函数f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R，其中t?R． （Ⅰ）当t?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t?0时，求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
322 （Ⅰ）解：当t?1时，f(x)?4x?3x?6x,f(0)?0,f?(x)?12x?6x?6
32
f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.
22 （Ⅱ）解：f?(x)?12x?6tx?6t，令f?(x)?0，解得x??t或x?t. 2
因为t?0，以下分两种情况讨论：
（1）若t?0,则t??t,当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2t????,?? 2??+ x ?t?,?t?? 2??- ??t,??? + f?(x) f(x)
所以，f(x)的单调递增区间是???,??t??t?,?t,?t,??;f(x)的单调递减区间是????。 ?2??2? （2）若t?0,则?t?t，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2t???t,?? 2??- x ???,t? + ?t?,???? 2??+ f?(x) f(x)
所以，f(x)的单调递增区间是???,?t?,?t??t??,???;f(x)的单调递减区间是??t,?.
?2??2?
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t?0时，f(x)在?0,?内的单调递减，在?递增，以下分两种情况讨论： （1）当
??t?2??t?,???内单调?2?t?1,即t?2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.
所以对任意t?[2,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当0?t?t??t??1,即0?t?2时，f(x)在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增，若2?2??2?77?1?t?(0,1],f????t3?t?1??t3?0.
44?2?
f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.
所以f(x)在?
?t?,1?内存在零点。 2??
若t?(1,2),f?7373?t???t?t?1??t?1?0. ???44?2? f(0)?t?1?0
所以f(x)在?0,?内存在零点。
所以，对任意t?(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t?(0,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
??t?2?
21x?，h(x)?x． 32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)；
241（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)?L?h(n)]?．
6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0)，
2. 已知函数f(x)??F?(x)??3x2?12．
令?F?(x)?0，得x?2（x??2舍去）．
当x?(0,2)时．F?(x)?0；当x?(2,??)时，F?(x)?0，
故当x?[0,2)时，F(x)为增函数；当x?[2,??)时，F(x)为减函数． x?2为F(x)的极大值点，且F(2)??8?24?9?25．
33（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x)，
24?x?a,a?x即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2，且?
4?x?1?x?4,a?x，即x2?6x?a?4?0， 4?x6?20?4a??36?4(a?4)?20?4a?0，此时x??3?5?a，∵1?x?a，
2此时方程仅有一解x?3?5?a．
a?x②当a?4时，1?x?4，由x?1?，得x2?6x?a?4?0，??36?4(a?4)?20?4a，
4?x若4?a?5，则??0，方程有两解x?3?5?a； 若a?5时，则??0，方程有一解x?3； 若a?1或a?5，原方程无解．
方法二：原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x)，
①当1?a?4时，1?x?a，则x?1?1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x，??a?x?0,??a??(x?3)2?5.???(x?1)(4?x)?a?x.①当1?a?4时，原方程有一解x?3?5?a； ②当4?a?5时，原方程有二解x?3?5?a； ③当a?5时，原方程有一解x?3；
④当a?1或a?5时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得h(1)?h(2)?L?h(n)]?1?2?L?n，
14n?31f(n)h(n)??n?．
6661设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?f(n)h(n)?（n?N*）
64k?34k?1从而有a1?S1?1，当2?k?100时，ak?Sk?Sk?1?k?k?1．
66221(4k?3)k?(4k?1)(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]??
66(4k?3)k?(4k?1)k?111???0． 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意k?2时，有ak?k，又因为a1?1?1，所以a1?a2?L?an?1?2?L?n． 则Sn?h(1)?h(2)?L?h(n)，故原不等式成立．
3. 设函数f(x)?alnx?x?ax，a?0 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a，使e?1?f(x)?e对x?[1,e]恒成立．
注：e为自然对数的底数． 【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象
概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为f(x)?alnx?x?ax.其中x?0
22222
a2(x?a)(2x?a)?2x?a??所以f?(x)? xx由于a?0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)
（Ⅱ）证明：由题意得，f(1)?a?1?c?1,即a?c
由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单调递增， 要使e?1?f(x)?e对x?[1,e]恒成立，
2
只要??f(1)?a?1?e?1,?f(e)?a?e?ae?e222
解得a?e.
ex4. 设f(x)?，其中a为正实数.
1?ax2（Ⅰ）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
1?ax2?ax解：对f(x)求导得f?(x)?e. ① 22(1?ax)x
（I）当a?
314
，若f?(x)?0,则4x2?8x?3?0,解得x1?,x2?. 322综合①,可知
x f?(x) f(x) 1(??,) 2+ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,?) 2+ ↗
所以,x1?31是极小值点,x2?是极大值点. 22（II）若f(x)为R上的单调函数，则f?(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知
ax2?2ax?1?0
在R上恒成立，因此??4a?4a?4a(a?1)?0,由此并结合a?0，知0?a?1.
25. 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数
的底数）。
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m 与曲线y=f（x）（x∈[ 1，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数eM；若不存在，说明理由。 【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算 求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。 解：（I）由f(e)?2得b?2, （II）由（I）可得f(x)??ax?2?axlnx. 从而f'(x)?alnx. 因为a?0，故： （1）当a?0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0 当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为（0，1），
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