2020年高三学年模拟考试
数学试卷（理工类）
本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1． 设集合A?{x|2x?8}，集合B?{x|y?lg?x?1?}，则AUB?
A．?1,3?
B．?1,3?
C．?1,???
D．?3,???
2． 在复平面内，复数
A．第一象限 四象限
i对应点位于 1?2iB． 第二象限
C． 第三象限
D．第
3． 下列函数中是偶函数，且在???,0?上单调递增的是
A．f?x??x 4． 数列?23B．f?x??2
xC．f?x??log211fx??x ?? D．
x?1x?2?1a?1a??是等差数列，且，，那么a2020? ?133?an?1?B．?A．
1009 101010092019 C． 10102020D．?2019 20205． 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是
A．残差平方和变小 B．相关系数r变小 C．相关指数R2变小
y
? E(10,12)
? D(3,10)
- 1 -
O ? C(4,5) ? B(2,4) ? A(1,3)
x
D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱 6． 函数f(x)?xex在x?1处的切线方程是
A．2ex?y?e?0 B．2ex?y?3e?0 C． 2ex?y?e?0 D．2ex?y?3e?0 7．“克拉茨猜想” 又称“ 3n?1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布
的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为 A．32或5
B．16或2 C．16
D． 32或5或4
8． 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内
的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为
A ．
25 36 B．
1145 C． 开始 D． 3699输入a,b 9． 某程序框图如图所示，若输入的a、b分别为5、3，则输出的n?
n?1 a?a?a 2n?n?1 否
A．2
B．3
22C．4
D．5
10．已知F1、F2分别是双曲线C:xy??1(a?0,b?0)的左右焦点，P为 22abb?2b a?b? 输出n 结束 是 uuuruuuuruuuury 轴上一点，Q 为左支上一点，若(OP?OF)gPF?0，且?PF2Q周长 22最小值为实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为 A．2
B．3 C．2
D．22 211．已知数列?an?，an?nsin?，则数列?an?的前100项和为
n2 B． ?5000 C． 5050 D．?5050
uuuruuuruuur12．已知?ABC中，长为2的线段AQ为BC边上的高，满足：ABsinB?ACsinC?AQ，且
A．5000
uuur1uuurAH?AC，则BH?
2 - 2 -
A．47 7
B．47
C．43 3D．27 二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
?2?24?x2dx? ． 14．直线l过抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点F，交抛物线C于点A（点A在x轴上方），过点A作
直线x??p的垂线，垂足为M，若垂足M恰好在线段AF的垂直平分线上，则直线l的斜率2为 ．
15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒
具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超
过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．
16． 在三棱锥S?ABC中，AB?6,BC?8,AC?10，二面角S?AB?C、S?AC?B、S?BC?A的
大小均为
?，设三棱锥S?ABC的外接球球心为O，直线SO交平面ABC于点M，则三棱锥4S?ABC的内切球半径为 ，SO? ． OM三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共60分．
?17． 函数f?x??Asin??x????A?0，??0，（1）求函数f(x)的解析式；
??π???2π??的部分图象如图所示． 2?y 2 （2） 若f(x)??3?26 ，且?x?，求cos2x．
243O 5π 1211π 12 x
- 3 -
?2 18． 如图，三棱锥P?ABC中，底面?ABC是边长为2的正三角形，
P PA?2，PA? 底面ABC，点E,F分别为AC，PC的中点．
G
（1）求证：平面BEF?平面PAC；
（2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与 平面PBC所成的角的 A F E B
C
7余弦值为？若存在，确定点G的位置； 若不存在，请说明理由．
7fx）=lnx?19． 函数（2(x?1) x?1fx） （1） 求证：函数（在(0,??)上单调递增；
（2） 若m,n为两个不等的正数，试比较
lnm?lnn2与的大小，并证明．
m?nm?nx2y2220． 已知椭圆C:2+2?1(a?b?0)的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的
ab2圆C1过点?1,0?．
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 若过点M?2,0?的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且与圆C1没有公共点，设G为椭
uuuruuuruuur圆C上一点，满足(OA?OB)?tOG（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月
初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动. (ⅰ) 第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中
签的概率.
(ⅱ) 理学社设置了第n(n?N?)个月中签的名额为2n?16, 并且抽中的同学退出活动，同
时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学
社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，
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同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第n(n?N?)个月中签的概
19?(?1)n率为pn?，活动进行了2k(k?N?)个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，
180求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月．
（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修4-4：坐标系与参数方程
?x??1?t在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），以原点O为极点，x 轴
?y??t非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?=?4cos?，直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若P(?1,0)，求
11?的值． APBP
23． 选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?x?a?x?1和函数g?x???2?1.
x（1） 当a?2时，求关于x的不等式f(x)??1的解集；
（2）若对任意x1?R，都存在x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数a的取值范围．
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2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第三次模拟数学(理)试题
