19．解：（1）AF与圆O的相切．理由为： 如图，连接OC，
∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC． ∴∠OCP=90°． ∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∴∠AOF=∠COF．
∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF， ∴△AOF≌△COF（SAS）．∴∠OAF=∠OCF=90°． ∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切． （2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF． ∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=
1AC，OE⊥AC． 2∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1． ∵S△AOF=
1124?OA?AF=?OF?AE，∴AE=． 225．
∴AC=2AE=【解析】
试题分析：（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE． 试题解析：（1）连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径， ∴∠BCA=90°， ∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC， ∵OC=OA， ∴∠B=∠1， ∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
OA?OC{?3??2， OF?OF∴△OAF≌△OCF（SAS）， ∴∠OAF=∠OCF， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCF=90°， ∴∠OAF=90°， ∴FA⊥OA， ∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°， ∴OF=OF2?OA2?32?42=1 ∵FA⊥OA，OF⊥AC， ∴AC=2AE，△OAF的面积=∴3×4=1×AE，
11AF?OA=OF?AE， 2212， 524∴AC=2AE=．
5解得：AE=
考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质． 20．-1 【解析】
试题分析：根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、0次幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可.
试题解析：原式=-1-33?1?33?1=-1.
21．每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元 【解析】 【分析】
设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x-10）元，根据数量=总价÷单价结合用350元
购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论. 【详解】 解：
设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x﹣10）元， 根据题意得：解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解， ∴x﹣10=1．
答：每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元． 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量=总价÷单价，列出分式方程．
22．（1）该校对50名学生进行了抽样调查；（2）最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%；（3）全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为720人． 【解析】 【分析】
（1）根据条形统计图，求个部分数量的和即可； （2）根据部分除以总体求得百分比；
（3）根据扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，求出百分比即可求解. 【详解】
（1）4+8+10+18+10=50（名）
答：该校对50名学生进行了抽样调查． （2）最喜欢足球活动的有10人，
，
10=20%， 50∴最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%． （3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%） =400÷20% =2000（人）
则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×【点睛】
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和
18=720（人）． 50为1，直接反应部分占全体的百分比的大小. 23．（1）BD=CD=52;（2）BD=5，BC=53． 【解析】 【分析】
（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题. 【详解】
（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°． ∵AD平分∠CAB，
??BD?， ∴DC∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2， ∴BD=CD=52，
（2）如图②，连接OB，OD，OC，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB=
1∠CAB=30°， 2∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形， ∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5，
∵AD平分∠CAB，
??BD?， ∴DC∴OD⊥BC，设垂足为E，
∴BE=EC=OB?sin60°=∴BC=53． 【点睛】
53， 2本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（1）CG=2． 【解析】 【分析】
(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE；
(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；
(1)、EO、EB，取AB的中点O，连接CO、根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案． 【详解】
(1)∵△CDE是等边三角形， ∴∠CED=60°，
∴∠EDB=60°﹣∠B=10°， ∴∠EDB=∠B， ∴DE=EB；
(2) ED=EB， 理由如下： 取AB的中点O，连接CO、EO， ∵∠ACB=90°，∠ABC=10°， ∴∠A=60°，OC=OA， ∴△ACO为等边三角形， ∴CA=CO，
∵△CDE是等边三角形， ∴∠ACD=∠OCE， ∴△ACD≌△OCE， ∴∠COE=∠A=60°， ∴∠BOE=60°， ∴△COE≌△BOE， ∴EC=EB， ∴ED=EB；
甘肃省陇南市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
