§3.1 导数的概念及运算
最新考纲 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直12
观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝的导
x数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δlimx→0
Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
＝Δlim，我们称Δxx→0ΔxΔy它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δlim＝Δlimx→0Δxx→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
.
Δx(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝lnx f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex f′(x)＝axlna f′(x)＝ xf′(x)＝ xlna11
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?f?x??′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?(g(x)≠0)．
?2
[g?x?]?g?x??
概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (3)(2)′＝x·2
xx－1
.( × )
题组二 教材改编
2．若f(x)＝x·e，则f′(1)＝. 答案 2e
解析 ∵f′(x)＝e＋xe，∴f′(1)＝2e. 3．曲线y＝1－
2
在点(－1，－1)处的切线方程为． x＋2
xxx答案 2x－y＋1＝0
2
解析 ∵y′＝2，∴y′|x＝－1＝2.
?x＋2?∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. sinx?π?5．若f(x)＝，则f′??＝________. x?2?4
答案 －2
π解析 ∵f′(x)＝
xcosx－sinx，
x2
4?π?∴f′??＝－2. π?2?
6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则
l在y轴上的截距为．
答案 1
1
解析 ∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
x又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
题型一 导数的计算
2
1．已知f(x)＝sin?1－2cos?，则f′(x)＝.
4?2?1
答案 －cosx
2
x?x?
x?x?1
解析 因为y＝sin?－cos ?＝－sinx，
2?2?2
11?1?所以y′＝?－sinx?′＝－(sinx)′＝－cosx. 22?2?cosx2．已知y＝x，则y′＝________.
esinx＋cosx答案 － xe
?cosx?′e－cosx?e?′?cosx?解析 y′＝?x?′＝ x2
?e??e?sinx＋cosx＝－. xe
3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝. 答案 1
1
解析 f′(x)＝2019＋lnx＋x·＝2020＋lnx，
xxx由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x＋2x·f′(1)，则f′(0)＝. 答案 －4
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
思维升华1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． 2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
2x＋1
例1(1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，
x＋1
2
f(1))处切线的斜率为( )
A．1B．－1C．2D．－2 答案 A
2x＋12x－11
解析 由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.
x＋1xx1
∴f′(x)＝2，∴f′(1)＝1.
x由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.
(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.
??y0＝x0lnx0，∴由?
?y0＋1＝?1＋lnx0?x0，?
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 命题点2 求参数的值
例2(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝. 答案 1
解析 由题意知，y＝x＋ax＋b的导数为y′＝3x＋a， 1＋a＋b＝3，??2
则?3×1＋a＝k，??k＋1＝3，
3
3
2
3
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
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(2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与
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f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝.
答案 －2
1
解析 ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
x又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
(鲁京津琼专用)2020版高考数学复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算教案(含解析)
