2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
x?4???0，x?Z?，从集合A中随机抽取一个元素x，记??x2，则随机1．设集合A??xx?3??变量?的数学期望E?? 。
【答案】 5
【解答】A???4，?3，?2，?1，，，012?，随机变量?的取值为0，1，4，9，16。 易得，?的概率分布列为
? P 0 1 71 2 74 2 79 1 716 1 712211∴ E??0??1??4??9??16??5。
777772．已知f(x)?x?g(x)，其中g(x)是定义在R上，最小正周期为2的函数。若f(x)在区间
4?上的最大值为1，则f(x)在区间?10，12?上的最大值为 。 ?2，【答案】 9
【解答】依题意，有f(x?2)?(x?2)?g(x?2)?x?g(x)?2?f(x)?2。 ∵ f(x)在区间?2，4?上的最大值为1，
∴ f(x)在区间?4，6?上的最大值为3，在区间?6，8?上的最大值为5，在区间?8，10?上的最大值为7，在区间?10，12?上的最大值为9。
x2y23．F1、F2为椭圆C：2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使
ab得PF1?PF2，则椭圆离心率e的取值范围为 。
?2?，1?【答案】? ??2?【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有?F1AF2?90?。 2c21c222?e?1。 ∴ ?F2AO?45?，?1。c?a?c，2?，2a2b4．已知实数x，y，z满足x2?2y2?3z2?24，则x?2y?3z的最小值为 。
【答案】 ?12
【解答】由柯西不等式，知
222??(x2?2y2?3z2)?144。 (x?2y?3z)2?(1?x?2?2y?3?3z)2??1?(2)?(3)??∴ x?2y?3z??12，当且仅当
x2y3y，即x?y?z??2时等号成立。 ??123∴ x?2y?3z的最小值为?12。 5．已知函数f(x)?x2cos?x2，数列?an?中，an?f(n)?f(n?1)（n?N*），则数列?an?的前100项之和S100? 。
【答案】 10200
【解答】依题意，有T100??f(n)??22?42?62?82?L?982?1002?4(3?7?L?99)
n?1100?4?3?99?25?5100。 2∴ S100?2T100?f(1)?f(101)?2?5100?0?0?10200。
6．如图，在四面体ABCD中，DA?DB?DC?2，DA?DB，DA?DC，且DA与平面ABC所成角的余弦值为
【答案】 3
【解答】如图，作DO?面ABC于O，连结AO，并延长交BC于点E，连结DE。则?DAE是DA与平面ABC所成的角，
cos?DAE?6。 36。则该四面体外接球半径R? 。 3∵ DA?DB?DC?2，DA?DB，DA?DC，
∴ DA?面DBC，O为△ABC的外心，且AB?AC?22。 ∴ DA?DE，E为BC中点，结合cos?DAE?AE?6，BE?AB2?AE2?8?6?2。
6知，3∴ BC?2BE?22，DB?DC。
∴ DA、DB、DC两两互相垂直，四面体外接球半径R?3。
7．在复平面内，复数z1、z2、z3的对应点分别为Z1、Z2、Z3。若z1?z2?2，
uuuruuurOZ1?OZ2?0，z1?z2?z3?1，则z3的取值范围是 。
【答案】 ?1，3?
【解答】设z1?x1?y1i，z2?x2?y2i（i为虚数单位）， ∵ z1?z2uuuruuur?2，OZ1?OZ2?0，
22?y2?2，x1x2?y1y2?0， ∴ x12?y12?x222z1?z2?(x1?y1)2?(x2?y2)2?x12?y12?x2?y2?2(x1x2?y1y2)?2。
设复数z1?z2对应的点为P。由z1?z2?z3?1知，点Z3在以P为圆心，1为半径的圆上。 又OP?2，因此，2?1?OZ3?2?1，即z3的取值范围是?1，3?。
8．已知函数f(x)?ex(x?aex)恰有两个极值点x1，x2（x1?x2），则a的取值范围为 。
1【答案】 (0，)
2【解答】f?(x)?ex(x?aex)?ex(1?aex)?(x?1?2aex)ex。 依题意，f?(x)?(x?1?2aex)ex?0有两个不同的实根。
设g(x)?x?1?2aex，则g?(x)?1?2aex，g(x)?0有两个不同的实根。 若a?0，则g?(x)?1，g(x)为增函数，g(x)?0至多1个实根，不符合要求。 若a?0，则当x?ln11时，g?(x)?0；x?ln时，g?(x)?0。 2a2a1???1?ln?上为增函数，?ln，???上为减函数。 ∴ g(x)在区间???，2a???2a?∴ g(x)的最大值为g(ln111。 )?ln?1?1?ln2a2a2a又x???时，g(x)?x?1?2aex???；x???时，g(x)?x?1?2aex???。 ∴ 当且仅当g(ln111)?ln?0，即0?a?时，g(x)?0恰有2个不同的实根。 2a2a2x（x1?x2）x1?x?x2时，g(x)?0，f?(x)?0；g(x)?0，设g(x)?0的两根为x1，。则x?x1时，2f?(x)?0；x?x2时，g(x)?0，f?(x)?0。
∴ x1为f(x)的极小值点，x2为f(x)的极大值点。0?a?1∴ a的取值范围为(0，)。
21符合要求。 29．已知f(x)?m?2x?x2?nx，若?xf(x)?0???xf(f(x))?0???，则m?n的取值范围
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