， 2-5
， 2-6
， 2-7
等等都是微分方程[7]．
定义2.1[8]在微分方程中，自变量个数只有一个的方程为常微分方程． ordinary differential equation,ODE ．
定义2.2[8]在微分方程中，自变量个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程． partial differential equation,PDE ．
所以，在以上的微分方程中， 2-1 ～ 2-5 式是常微分方程，自变量只有一个， 2-1 式、 2-1 式、 2-5 式的自变量为,是未知函数； 2-3 式的自变量为，是未知函数； 2-4 式的自变量为，为未知函数 2-6 式、 2-7 式是偏微分方程,自变量有两个及两个以上，在 2-6 中自变量是，在 2-7 中自变量是,未知函数均为．
定义2.3[8]微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如方程 2-1 、 2-2 、 2-3 都是一阶方程, 2-4 、 2-6 、 2-7 都是二阶方程， 2-5 是阶方程．
定义2.4设函数连续，且有一直到阶的各阶导数，使得 2-8 则称函数为方程
2-9
的解[8]．
定义把含有个独立的任意常数的解 称为阶方程 2-9 的通解．
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解锁必须的条件,这就是所谓的定解条件．常见的定解条件是初值条件和边值条件．所谓阶微分方程 2-9 的初值条件是指如下个条件：
当时，,,, 2-10 这里是给定的个常数．初值条件 2-10 有时可以写为 . 2-11 满足初值条件的解称为微分方程的特解[8]． 变量分离法 形如
……………………………………… 2-12
的方程，称为变量可分离方程，其特点是右端为仅含有的函数和仅含有的函数的乘积[9]．例如方程，，都是变量分离方程．
设，分别是，的连续函数，我们分两种情况进行讨论． 若，先分离变量，方程两边同除以，乘以，把方程 2-12 化为 ． 2-13 然后，两边分别对和积分，得 ． 2-14 令 ，，
则式 2-14 可写成
， 2-15
这里是任意常数．等式 2-15 是方程 2-12 的通解 通积分 ． 2 若有实数，使得，则把函数 常值函数 代入方程 2-12 直接验证，可知也是方程 2-12 的解．
上述讨论说明，为了求解方程 2-12 ，关键在于使变量和分离出来，使得的系数仅是的函数，的系数仅是的函数，从而就可以通过各自积分求得其通积分，这种方法就是变量分离法[9]．
这里需要指出的是：当时，方程 2-12 与隐函数方程 2-15 是等价的，即方程 2-12 和 2-15 的解集相同．
由此,我们可以看出，变量分离方程的求解思路主要分为三步： 1 分离变量， 2 对方程两边同时积分并整理得通解， 3 由初始条件求方程的特解[10]．
求解方程
. 2-16
解 由题可知原方程时变量可分离方程． 1 当时，变量分离可得 等式两边积分，有 ． 整理得
，
2-17
其中是任意非零常数．
2 另外，经检查，也是方程 2-16 的解．而只要我们允许上式中的可取零值，则就可被包含在上式 2-17 中 它对应 的解，因此，方程 2-16 的通解为
，为任意常数． 求解方程 ．
解 由题可知原方程是变量可分离方程． 将方程变形为 ．
变量分离可得 ．
等式两边积分，有 ． 整理得 ． 即 ，
这里是任意常数． 变量代换法
一些方程，常常可以通过引入适当变量代换，化为变量已分离型
方程或是其他已知解法的方程．
我们通过两种方程来介绍变量代换法： 我们称形如
2-18
的方程为齐次方程，其中为的连续函数．显然作为的函数是零次齐次的，例如方程
，，
都是齐次方程．
求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换，亦即用一个新的未知函数代替原来的未知函数，将方程 2-18 化成变量分离方程．利用变量替换来换来解微分方程是一种常用的技巧．对于方程 2-18 ，我们做如下的变量替换
， 2-19
亦即，这里是用新未知函数来代替原来的未知函数，故也是的函数，于是
． 2-20
将 2-19 ， 2-20 代入方程 2-18 即得 ； 由此推出
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)
