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告】几类常微分方程典型的解法
（ 20 届） 本科毕业论文
几类常微分方程典型的解法
摘要:自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画,微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的最为基本的数学理论和方法.在我们的现实生活中存在着各式各样的微分方程,常微分方程是其比较重要的存在形式.常微分方程作为现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,因此对常微分方程进行求解有一定的必要性.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及相关应用.
关键词:常微分方程;变量分离;积分因子;伯努利方程
The Solution to Several Kinds of Differential Equations Abstract: Many things in nature's law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the differential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool that people solve practical problems. Therefore it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications.
Key
words:
Ordinary
Differential
Equations;
Separation of Variables; Integrating Factor; Bernoulli Equation
目 录 1 绪论 1
1.1 论文选题的背景、意义 1 1.2 常微分方程的发展动态 2 2 几类常微分方程的一般解法 2.1 微分方程及其解的定义 5 2.2 变量分离法 7 2.3 变量代换法 9 2.4 常数变易法 15 3 几类常微分方程的特殊解法 3.1 凑全微分法 19 3.2 积分因子法 21
4 几类解法在伯努利方程中的应用 25 4.1 伯努利方程的由来 4.2 伯努利方程的求解 4.2.1 变量分离法 26 4.2.2 变量代换法 27 4.2.3 常数变易法 28 4.2.4 部分凑微分法 29 5 结束语 30 6 致谢 31 7 参考文献 32
25 26
19 5
绪论
论文选题的背景、意义
自然界中很多事物的运动规律可用常微分方程来刻画,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的演变规律的最为基本的数学理论和方法.常微分方程理论研究已经有300百年的历史,当牛顿 Newton,1642-1727 、莱布尼兹 Leibniz,1646-1716 创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.
微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.“300年来分析是数学里首要的分支,而微分方程又是分析的心脏.这是初等微积分的天然后继课,又是为了了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里最大部分思想和理论的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此评价微分方程在数学中的地位[1].
常微分方程的发展极大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术学乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也
推动了微分方程的进一步深化,使之成为当今经济发展和社会进步所不可或缺的一门技术.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.
但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出微分方程的解是十分重要的.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有的理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[2].本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.
常微分方程的发展动态
常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[3].
尽管在耐皮尔 John Napier,1550-1617 所创立的对数理论及达
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