语文版中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》教案

【课题】7.3 平面向量的内积

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|＝a?a显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；

（3）cos＝础；

（4）“a·b＝0?a?b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】

a?b，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基|a||b|o教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 F 教师 行为 介绍 s 质疑 引导 分析 总结 归纳 学生 行为 了解 思考 自我 分析 思考 教学 意图 从实例出发使学生自然的走向知识点 带领 学生 分析 时间 0 5 O 30?图7—21 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30?角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 F?xi + y j ?Fsin30o?i?Fcos30o?j， 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 3W＝｜F｜cos30?·｜s｜＝100×·10＝5003 （J） 2 教 学 过 程 y F(x,y) 教师 行为 学生 行为 理解 记忆 教学 意图 引导 式启 发学 生得 出结 果 时间 15 j O i x 图7－22 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两uuur个非零向量a, b，作OAO 图7－23 A 仔细 分析 讲解 关键 词语 b B a uuur＝a, OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作． 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： （1） 当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝?|a||b|. a?b（2） cos＝. |a||b|o 思考 教 学 过 程 （3） 当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝a?a. （4） 当?a,b??90时，a?b，因此，a·b＝a?bcos90o?0,因此对非零向量a，b，有 o教师 行为 总结 归纳 仔细 学生 行为 理解 记忆 教学 意图 带领 学生 分析 反复强调 时间 30 a·b＝0?a?b. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a·b＝b·a． （2） (?a)·b＝?(a·b)＝a·(?b)． （3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a·(b·c)≠（a·b）·c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60?,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos60?＝3． 例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝?分析 讲解 关键 词语 说明 强调 引领 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40 45 2,求． 解 cos＝2?2a?b＝＝?. |a||b|22?2由于 0≤≤180?， 所以 ＝135o． *运用知识 强化练习 1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60?，求a·b． 2. 已知a·a＝9,求|a|． 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝30?，求(2a＋b)·b． 提问 巡视 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 教 学 过 程 *动脑思考 探索新知 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2． 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2 (7.11) 利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则 a?aga?教师 行为 总结 归纳 学生 行为 思考 归纳 理解 记忆 教学 意图 带领 学生 总结 时间 60 x2?y2，即 a?x2?y2 (7.12) 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， x1 x2? y1 y2a?b cos＝＝. (7.13) 2222|a||b|x1?y1x2?y2 仔细 分析 讲解 关键 词语 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a?b?a·b＝0，由公式(7.11)可知 a·b＝0? x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 a?b? x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题 例3 求下列向量的内积： （1） a＝ (2,?3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, ?1), b＝(1,2)； 说明 强调 观察 讲解 说明