数 学
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14.、[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)
a+b
的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)
2
为a,b的算术平均数.
(1)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;
2ab
(2)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.
a+b
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14.(1)x (2)x(或填(1)k1x;(2)k2x,其中k1,k2为正常数) [解析] 设A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),则此三点共线:
0-f(a)0+f(b)
(1)依题意,c=ab,则=,
c-ac-b
0-f(a)0+f(b)即=. ab-aab-b
f(a)f(b)
因为a>0,b>0,所以化简得=,故可以选择f(x)=x(x>0);
ab
0-f(a)0+f(b) f(a)2ab
(2)依题意,c=,则=,因为a>0,b>0,所以化简得=
2ab2abaa+b
-a-ba+ba+b
f(b)
,故可以选择f(x)=x(x>0). b
x22
20.[2014·江西卷] 如图1-7所示,已知双曲线C:2-y=1(a>0)的右焦点为F,点A,
aB分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
图1-7
(1)求双曲线C的方程;
x0x
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x
a3|MF|=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值. 2|NF|
20.解:(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=a2+1.
cc11
,-?. 由题意,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),所以B?2a??2aa1
又直线OA的方程为y=x,
a
c?c?--
a?2a?3c??则A?c,a?,所以kAB==. cac-2
3?1?x222
又因为AB⊥OB,所以2?-a?=-1,解得a=3,故双曲线C的方程为-y=1.
a3x0x-3x0x
(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=(y≠0).
33y00
2x0-3?
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M?2,,直线l与直线
3y0??3
x-3
3320x=的交点为N,, 223y0
(2x0-3)2
(3y0)2(2x0-3)2|MF|2
则== 22=|NF|29y9302?x0-3?
?4+4(x0-2)1?2
+4(3y0)2(2x0-3)2422. 33y20+3(x0-2)
x20又P(x0,y0)是C上一点,则-y20=1, 3
2
(2x0-3)2|MF|244(2x0-3)4|MF|223
代入上式得=,所以==,2=222=22|NF|3x0-3+3(x0-2)34x0-12x0+93|NF|33
为定值.
x2y2
20.,,[2014·四川卷] 已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与
ab长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
|TF|②当最小时,求点T的坐标.
|PQ|
?a2+b2=2b,
20.解:(1)由已知可得? 22?2c=2a-b=4,
解得a2=6,b2=2,
x2y2
所以椭圆C的标准方程是+=1.
62
(2)①证明:由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m), m-0
则直线TF的斜率kTF==-m.
-3-(-2)
1
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=.直线PQ的方程是x=my-2.
m当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
x=my-2,??22
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得?xy
+=1.??62消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0. -24m
所以y1+y2=2,y1y2=2,
m+3m+3-12
x1+x2=m(y1+y2)-4=2.
m+3设M为PQ的中点,则M点的坐标为?m
所以直线OM的斜率kOM=-,
3m
又直线OT的斜率kOT=-,
3所以点M在直线OT上, 因此OT平分线段PQ. ②由①可得,
|TF|=m2+1,
|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]
4m?2-2???2
=(m+1)?m2+3-4·2?
?m+3???24(m2+1)
=.
m2+3|TF|所以=
|PQ|
221(m+3)·= 24m2+1
?-6,2m?.
??m2+3m2+3?
41?2
m+1+2+4?≥m+1?24?
13
(4+4)=. 243
4|TF|
当且仅当m2+1=2,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
|PQ|m+1|TF|
故当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
|PQ|
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21.、、[2014·全国卷] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点5
为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
4
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.