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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1（1）若lim(e?ax?bx)x?0x2x2?1,则（ ）
(A)a?1，b??1 (B)a??,b??1 (C)a?111,b?1 (D)a??,b?1 2222（2）下列函数中，在x?0处不可导的是（ ） (A)f?x??xsinx (B) f?x??xsinx
(C)
f?x??cosx
(D)
f?x??cosx
（3）设函数f(x)????1,x?0?2?ax,x??1?1,x?0,g(x)???x,?1?x?0,若f(x)?g(x)在R上连续，则（??x?b,x?0 (A)a?3,b?1 (B) a?3,b?2 (C)
a??3,b?1
(D)
a??3,b?2 （4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且?10f(x)dx?0,则（ ）
(A)当f?(x)?0时,f(1)?0
(B)12 当f??(x)?0时,f(2)?0
(C)1 当f?(x)?0时,f(2)?0
(D) 当f??(x)?0时,f(12)?0
??x?2?（5）设M??2?1??1?x2dx,N??21?x???xdx,K?2?2???1?cosx?dx,则（ ） 2e2 (A)M?N?K (B)M?K?N (C)K?M?N (D)K?N?M
（6）?0dx?2?x2(1?xy)dy??12?x2?1?x0dx?x(1?xy)dy?（ ）
(A)
573 (B)
5 6 (C) (D)
7 3 6 ?110（7）下列矩阵中与矩阵???011??相似的为（ ）
??001?? ）最新整理
?11?1??? (A) ?011?
?001????11?1??? (C) ?010?
?001????10?1???(B) ?011?
?001????10?1???(D) ?010?
?001???（8）设A,B为n阶矩阵，记r?X?为矩阵X的秩，则（ ） ?X,Y?表示分块矩阵， (A) r?A,AB??r?A?
(B) r?A,BA??r?A? (D) r?A,B??rATBT
(C) r?A,B??maxr?A?,r?B?
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）limx[arctan(x?1)?arctanx]? x???2????（10）曲线y?x?2lnx在其拐点处的切线方程是 （11）
2???51dx?
x2?4x?3?x?cos3t?，在t?对应点处的曲率为 （12）曲线?34?y?sint（13）设函数z??x,y?由方程lnz?ez?1?xy确定,则?z1? ?x(2,)2（14）设A为3阶矩阵,?1,?2,?3是线性无关的向量组,若A?1?2?1??2??3,A?2??2?2?3,A?3???2??3, 则A的实特征值为 .
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求不定积分?e2xarctanex?1dx.
（16）（本题满分10分）
已知连续函数f(x)满足?f(t)dt??tf(x?t)dt?ax2
00xx（I）求f(x)；
（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
（17）（本题满分10分）
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?x?t?sint,设平面区域D由曲线?(0?t?2?)与x轴围成,计算二重积分??(x?2y)d?.?y?1?costD
（18）（本题满分10分）
已知常数k?ln2?1.证明：(x?1)(x?lnx?2klnx?1)?0. （19）（本题满分10分）
2将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
（20）（本题满分11分）
已知曲线L:y?
42x(x?0),点O?0,0?,点A?0,1?.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L 9所围成图形的面积，若P运动到点?3,4?时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.
（21）（本题满分11分）
设数列?xn?满足：x1?0,xnexn?1?exn?1(n?1,2,L),证明?xn?收敛，并求limxn.
n??
（22）（本题满分11分）
设实二次型f(x1,x2,x3)?(x1,?x2?x3)2?(x2?x3)2?(x1?ax3)2,其中a是参数.
(I) 求f(x1,x2,x3)?0的解； (II) 求f(x1,x2,x3)的规范形.
（23）（本题满分11分）
?12a??1a2?????已知a是常数，且矩阵A=?130?可经初等列变换化为矩阵B=?011?.
?27?a???111?????(I) 求a;
2018考研数学二真题
