小学教育精选
《二次函数的应用》中考题集锦
10 题已知抛物线 y ? x2 ? mx ? 2m2 (m ? 0) ．
（1）求证：该抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
（2）过点 P(0，n) 作 y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存 在实数 m，n ，使得 AP ? 2 PB ？若存在，则求出 m，n 满足的条件；若不存在，请说明理 由．
答案：解：（1）证法 1：
2
m? ?
y ? x2 ? mx ? 2m2 ? ? x ? ? ? 9 m2 ，
2 ? 4 ?
当 m ? 0 时，抛物线顶点的纵坐标为 ?
9
?顶点总在 x 轴的下方．
而该抛物线的开口向上，
?该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．
4
m2 ? 0 ，
（或者，当 m ? 0 时，抛物线与 y 轴的交点 (0， ?2 m2 ) 在 x 轴下方，而该抛物线的开口向上，
?该抛物线与 x 轴有两个不同的交点． ）证法 2 ：
? ? m2 ? 4 ?1? (?2m2 ) ? 9m2 ，
当 m ? 0 时， 9m2 ? 0 ，
?该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．
（2）存在实数 m，n ，使得 AP ? 2 PB ．
设点 B 的坐标为 (t，n) ，由 AP ? 2 PB 知，
①当点 B 在点 P 的右边时， t ? 0 ，点 A 的坐标为 (?2t，n) ，
y
A
P O
B
且 t，? 2t 是关于 x 的方程 x2 ? mx ? 2m2 ? n 的两个实数根．
x
9
?? ? m2 ? 4(?2m2 ? n) ? 9m2 ? 4n ? 0 ，即 n ? ? m2 ．
4
且 t ? (?2t ) ? ?m （I）， t (2)? t ??m ? n 2
（II）
由（I）得， t ? m ，即 m ? 0 ． 将 t ? m 代入（II）得， n ? 0 ．
? 当 m ? 0 且 n ? 0 时，有 AP ? 2 PB ．
y
②当点 B 在点 P 的左边时， t ? 0 ，点 A 的坐标为 (2t，n) ，
幼儿教育精选
O A BP
x
小学教育精选
2 t 是关于 x 的方程 x2 ? mx ? 2m2 ? n 的两个实数根． 且 t，
9
?? ? m2 ? 4(?2m2 ? n) ? 9m2 ? 4n ? 0 ，即 n ? ? m2 ．
4
且 t ? 2t ? ?m （I）， t 2t ? ?2m2 ? n （II）
由（I）得， t ? ?
m
3
，即 m ? 0 ．
20 9
2m 且满足 n ? ? m2 ． 将 t ? ? 代入（II）得， n ? ?
3 9 4
20
?当 m ? 0 且 n ? ? m2 时，有 AP ? 2 PB
9
m
第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间
t （秒）间的关系式为 S ? 10t ? t 2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的 高度为（ ）
Ａ．24 米
Ｂ．12 米 Ｄ．6 米
Ｃ．12 3 米
答案：Ｂ
第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3 月 25 日起的 180 天内，绿茶市场销售单价 y （元）与上市时间 t （天）的关系可以近似地
用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本 单价 z （元）与上市时间 t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．
y (天)
z(元)
60
160 140 120 100 80 60 40 20
（180，92）
50 40 85 3 20 10
100 120
20 40
60 80
110
140 160 180
140 160
20 40
60 80 100 120
图(1)
（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价 y （元）与上市时间 t （天）（ t ? 0 ）的函数
图(2)
O
150 180 t(天)
O
t(天)
关系式；
（2）求出图（2）中表示的种植成本单价 z （元）与上市时间 t （天）（ t ? 0 ）的函数关系 式；
（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最 大？
（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500 克． ）
幼儿教育精选
小学教育精选
答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：
2 t?160(0?t?120)，? ?? 3
? y ? ? 80 (120≤ t ? 150)，
? 2
? t ? 20 (150≤ t ≤180)． ? 5
（2）由题目已知条件可设 z ? a(t ? 110)2 ? 20 ．
85，图象过点 (60 ) ， 3
851
2? ? a(60 ? 110) ? 20． a ? ． ?
3 300
1
? z ? (t ? 110) 2 ? 20 (t ? 0 )．
300
（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价 ? 成本单价．
1 ? 2
2 ? 20 (0 ? t ? 120)， ? t ? 160 ? (t ? 110)? 300 3
?
1 ?80
?故 W ? ?(t ? 110)2 ? 20 (120≤ t ? 150)，
300
? ? 2 1
(t ? 110)2 ? 20 (150≤ t ≤180)．
? 5 t ? 20 ?
300 ?
化简得
? 1 (t?10)2?100? 300 (0 ? t ? 120)， ? ?
1 (t?110)2?60(120≤t?150)，? W ?? ? 300 ? 1 (t?170)2?56(150≤t≤180)．? ? 300 ?
1
(t ? 10)2 ? 100(0 ? t ? 120) 时，有 t ? 10 时，W 最大，最大值为 100； ①当W ? ?
300
1
②当 W ? ? (t ? 110) 2 ? 60(120 ≤ t ? 150) 时，由图象知，有 t ? 120 时， W 最大，最
300 2
大值为 59 ；
3
1 (t170)256(150≤t≤180)
? ? 时，有 t ? 170 时，W 最大，最大值为 56． ③当 W ??
300
综上所述，在 t ? 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为 100 元．
第 13 题如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴
幼儿教育精选
小学教育精选
上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相 同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 4 3 ? 7 ）
（3）运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米？（取 2 6 ? 5 ）
y
O
4 2 1 A
M
B D x C
（ ）答案：解： 1（3 分）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为 y ? a( x ? 6)2 ? 4．
y
由已知：当 x ? 0 时 y ? 1．
1
．?即1 ? 36a ? 4， a ? ?
12
1
2?表达式为 y ? ? ( x ? 6) ? 4．
12
1
（或 y ?? 2x ? x ? 1 ）
1 12
? ( x ? 6)2 ? 4 ? 0．
12
（2）（3 分）令 y ? 0，
2 E
M
．
1
2
?( x ? 6)2 ? 48．x ? 4 3 ? 6 ≈13，x ? ?4 3 ? 6 ? 0 （舍去）
? 足球第一次落地距守门员约 13 米．
（3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意： CD ? EF （即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）
? 2 ? ? ( x ? 6)2 ? 4 解得 x ? 6 ? 2 6，x ? 6 ? 2 6．
1
2
121
?CD ? x ? x ? 4 6 ≈10．
1
2
2 （米）? BD ? 13?60 ?? 6)17解法二：令 ? ? 1( x? 4 ?． 0 ．
1 12
解得 x ? 6 ? 4 3 （舍）， x ? 6 ? 4 3 ≈13．
1
2
?点 C 坐标为（13，0）．
幼儿教育精选
小学教育精选
1
设抛物线 CND 为 y ? ? ( x ? k )2 ? 2．
12 1
将 C 点坐标代入得： ? (13 ? k )2 ? 2 ? 0．
12
解得： k ? 13 ? 2 6 ? 13 （舍去），
1
k ? 6 ? 4 3 ? 2 6 ≈ 6 ? 7 ? 5 ? 18．
1
y ?? ( x ? 18)2 ? 2
12
1
，0令 y ? 0 ? ? ( x ? 18)2 ? 2．
12
2
x ? 18 ? 2 6 （舍去） x ? 18 ? 2 6 ≈ 23． ，
1
2
? BD ? 23 ? 6 ? 17 （米）．
解法三：由解法二知， k ? 18，
所以 CD ? 2(18 ? 13) ? 10，
所以 BD ? (13? 6) ? 10 ? 17．
答：他应再向前跑 17 米．
第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚 种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7 万元；购置滴 灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9 ；另外每公 顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元． （1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元）， 写出 y 关于 x 的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项
大棚．（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使 用．如果按 3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收 益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．
答案：（1） y ? 7.5 x ?2.7 x ? 0.9 x 2 ? 0.3 x? ?0.9 x 2 ? 4.5 x ．
2
2
?
?
（2）当 ?0.9 x ? 4.5 x ? 5 时，即 9 x ? 45x ? 50 ? 0 ， x ?
1
5
5
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建 公顷大棚．
3
（3）设 3 年内每年的平均收益为 Z （万元）
10
， x ?
2 3 3
Z ? 7.5 x ? ?0.9 x ? 0.3x 2 ? 0.3x ?? ?0.3 x 2 ? 6.3 x ? ?0.3 ?x ? 10.5 ?2 ? 33.075 （10 分）
不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益．
幼儿教育精选
《二次函数的应用》中考题集锦-初中教育精选
