课题：两角差的余弦公式教材：人教A版数学必修4
一、教学目标：
1.探究并纠正常犯的直觉性错误；
2.探究并理解用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式；3.探究并理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式；4.掌握两角差的余弦公式的初步运用. 二、教学重难点：
重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角差的余弦公式难点：两角差的余弦公式的探索与证明三、教学方法与手段：
1.在教学中可以利用多媒体动态演示“用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式”以及“用向量的数量积推导两角差的余弦公式”的过程，结合课件配合教学。
2.利用课件中的单位圆及线段、角度等，可以清晰的演示出公式的探索过程。四、教学过程：教学
提出问题设计意图学生活动
过程
1.计算cos15
一、引入
o
cos45
o
o
30
o
o
?猜想，是
不是等于cos452.cos(
cos30呢？
cos
通过具体例子体会差角的余弦是否等于余弦值之差
由特殊到一般，明确直觉性的错误出错原因，体会“恒等”的含义
复习三角函数线的有关知识
学生动笔计算，验证学生动脑，动手验证
)是否等于cos？
二
怎样构造角和角？、三
的余弦线以及角角4.怎样作出角
函数、的正弦线、余弦线？怎样利用几何线
直观寻求OM的表示式？推导方
5.思考：上面的推导是否有不严谨之处？法
是否存在特殊性？
3.三角函数的学习当中我们知道，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。
学生画单位圆，作出相关角的余弦线
使学生从直观角度加强对差角公式结构的形式特征，探索用三角函数线表示
cos(
)
学生结合单位圆，亲自探索
培养学生严谨的学习态度，体会所举例的特殊性，能否推广到一般情况
师生共同作答：推导过程是在
、、
都是锐角，且的
情况下得到的。同学们可以课后动手试证明对任意角立
6.我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？
7.应选择哪几个向量，它们怎么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果？
引导学生发现，提出证明方法
让学生经历用向量知识解出数学问题的过程，体会向量方法的作用
学生思考回答：向量的数量积
根据老师的引导和观察动态课件，学生共同探索，明确应选择哪几个向量，具体怎样表示，怎样利用数量积的计算得到探索结果实例中讨论的存在取值范围0≤
≤，
、
，都成
三、向量数量积
推8.对以上推导是否有不严谨之处？若有，导请作出补充. 方法
培养学生严谨的思维习惯，小心求证
9.小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？四、归纳结论
对比和理解两种探索方法的思路，并了解探究过程应遵循的原则
如一般情形，是否仍然成立，留学生思考，课后进一步完善
学生小结、比较两种方法。用单位圆上的三角函数线推导可从直观角度加强对差角公式的认识，用向量推导突出向量运算的威力，过程简洁。
小结，得出公式：对于任意角
cos(
)
cos
cos
,
都有
sin
sin
10.例1：利用差角余弦公式求值。
变式题：利用差角余弦公式求值。
cos15的sin75的
五、例题
本例是通过应用理解公式的基本练习，应注意
（1）具体的角应适当拆分成差角的形式（2）拆分的情况可能不唯一
（3）思考变式问题，计算sin75可由三角函数的诱导公式转换成求cos15的余弦得到，启发学生多角度
求解过程可由学生独立进行，教师适当点评，规范步骤，教师黑板板演
学生自己动手算第二种方法，做到边学边练，并练习加以引申的题目。
看问题
差角余弦公式的进4
,)11.例2：已知sin,(，
一步熟练运用，应使52
5学生体会：，是第三象限角，求cos(cos)
（1）应用差角公式应13
的值。做的必要准备
（2）结合相应角的取
变式题：若将例2的条件(,)去掉，
值范围确定角的正余2
该题如何解答？弦值
正确运用公式计算
差角的余弦，学生先作答，教师对答题中出现的问题进行修正，明确规范答题的步骤
变式题对题目加以引申，若去掉这个条件，应进行分类讨论完成
师生共同归纳：本节课用单位圆上的三角函数线和向量的数量积两种方法推导出两角差的余弦公式。理解和掌握探索的过程，可引导学生从两方面进行小结：（1）对公式的探索过程，用到了哪些知识，怎样探索并完善的；（2）认识差角余弦公式的结构特征，能表述变换过程。
12.通过本节学习你有哪些收获?
自我小结本节课的收获，让学生通过小结，加深对公式及其推导过程的理解
六、课堂小结
五、课后练习
1．利用两角差的余弦公式，求cos75
设计意图：题型同例1，评价学生是否正确记忆并使用公式。2．化简求值：（1）cos80cos20sin80sin20
1
（2）cos15
2
32sin15
设计意图：评价学生能否掌握公式的逆用，从反方向上正确运用公式化简求值。第（需要根据公式右边的特点，先分别将3．已知sin
23,cos
34,,
12、32
2）小题
化成同角的余、正弦。
)
在第二象限，求cos(
设计意图：题型同例2，评价学生是否正确掌握并运用公式。学生需要思考使用公式前应作出的必要准备，结合同角三角函数的知识进行计算。4．
,
(0,
2),tan
43,cos(
)
1114
，求cos
设计意图：通过本题评价学生对差角公式掌握情况，以及灵活运用情况，难度较大。考察学生将拆分为两个已知角之差：
(
)
，由已知角的范围进一步求的正、余弦值，的
余弦值，需要结合同角三角函数的知识运算。
附：教案说明
1、本节课中，两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点，尤其要引导学生通过主动参与，独立探索，试着自己归纳结论。有些学生往往重“结论”，轻“过程”，只记忆结论，而轻视公式、定理的推导过程，而这往往是数学学习中最能体现数学思维严密性及逻辑关系
的一个部分，也恰恰是最能培养学生的数学应用能力的。教学中可侧重分析公式的结构特征，引起学生寻求适当方法推出公式的欲望，教师应在引导上多下功夫。配合ppt课件进行动态演示，可以收到较好的效果。
2、对于例1，例2的教学，应通过公式的简单应用，使学生能逐步熟记公式，掌握公式的结构特征，正确运用公式化简求值。可启发学生，在具体解题时，经常根据题意，适当进行“拆角”的变形，体会解题的灵活性。
3、本节课的要求是“保证学生的主体地位，以学生为主导”，作为探究课，应将课堂还给学生，引导学生积极思考。教师应张弛有度，由浅入深、由已知推未知、循序渐进的组织课堂教学。
林州一中高中数学必修4两角差的余弦公式教案 - 图文
