2019年电大离散数学第4次形考答案

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业4

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f,c} ．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 所有结点的度数全为偶数 ． 5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W ≤ | S | ．

7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 n为奇数 时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足 e= v-1 关系的无向连通图就是树．

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去

1

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4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．

答：不正确，图 G 是无向图，当且仅当 G 是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图 G 是否是连通的。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

答：错误。 因为图 G 为中包含度数为奇数的结点

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G

答：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点 bd 各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．

答：错误。若 G 是连通平面图，那么若 v ≥ 3, 就有 e ≤ 3v － 6 ， 而 16>3×7 － 6 ，所以不满足定理条件，叙述错误。

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5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即： v - e + r =2 。由此题条件知 6-11+7=2 成立。

三、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 答：（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ） deg( v1 ) = 1 deg( v2 ) = 2 、 deg(v3) = 4 、 deg(v4) = 3 、 deg(v5) = 2 （ 4 ）

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2．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值． 解：（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

G 权最小的生成树的权值 ： 1 + 1 + 2 + 3 = 7

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3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值． 答：（ 1 ）

（ 2 ）该生成树的 权值为 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

答： 最优二叉树如下：

解：从 2, 3, 5, 7, 17, 31 中选 2 ， 3 为最低层结点，并从权数中删去再添上它们的和数，

即 5 ， 5 ， 7 ， 11 ， 31; 再从 5 ， 5 ， 7 ， 11 ， 31 选 5 ， 5 为倒数第二层结点，并从上述数列中删去，再添上它们的和数，即 17 ， 17 ， 31;…..

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最优二叉树的权为： 2 × 5 + 3 × 5 + 4 × 5 + 7 × 3 + 17 × 2 + 31 × 1 = 10 + 15 + 20 + 21 + 34 + 31 = 131

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：设 a 为 G 中任意一个奇数度顶点，由 定义， a 仍为 顶点，为区分起见，记为 a ’ , 则 deg(a)+deg(a ’ )=n-1, 而 n 为奇数，则 a ’必为奇数度顶点。由 a 的任意性，容易得知结论成立。

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图．

证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则 k 是 偶数。又由欧拉图的充要条件是图 G 中不含奇数度结点。因此，只要在每对奇数度结点间各加一条边，使图 G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故 最少要加

条边才能使其成为欧拉图

k条边才能2 6