数学建模试验报告（四）
姓名 学号 班级 问题：（微分方程） 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系. （1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果. . 问题的分析和假设： 问题分析： 人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为a。 在国家统计局网站查询得：2012年，我国大陆总人口数为134735万人，总资金（国内生产总值）总量为47.1564万亿元，则a的值约为1。 问题假设： x1(t)为t时刻总资金积累量 x2(t)为t时刻的人口数量 x3(t)为t时刻国民平均收入量 Y(t)为人口平均资金积累 k为总资金的相对增长率 r为人口的相对增长率 建模： 由分析及假设可列出如下方程： 一定时期后，增长的人口数量为：x2?rx2；总资金增长量为x1?kx1； 由题意知：x3(t)?a?Y(t) Y(t)?x1(t)x2(t) 由上述公式，微分得：dx3(t)?a(k?r)x3(t) dt所以当k>r时，国民收入?x?0,x(t)增加，即国民平均收入增加。 列微分方程如下： dx1?kx1 dtdx2?rx2 dtdx3(t)?a(k?r)x3(t) dt
求解的Matlab程序代码： 建立.M文件，lab4.m，如下： function dx=lab4(t,x) dx=zeros(3,1); k=0.093; r=0.00479; a=1; dx(1)=k*x(1); dx(2)=r*x(2); dx(3)=a*(k-r)*x(3); 主程序： [t,x]=ode45('lab4',[2011 2100],[134735 4715640000 34999.37]); figure(1),plot(t,x(:,1),'k*') xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金积累量[亿元]') figure(2),plot(t,x(:,2),'m-') hold on xlabel('时间[年]'),ylabel('人口总数') figure(3),plot(t,x(:,3),'r+') hold on xlabel('时间[年]'),ylabel('国民平均收入量')
计算结果与问题分析讨论： 由题意和模型分析知：国民收入量呈指数增长，增长率为（k-r），则当k>r时，国民平均收入量才会呈现增长趋势。 总资金积累量随时间变化的图像：
数学建模试验报告-微分方程
