?1＋255cos θ＝λ，所以?
252＋?5sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋255
cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan 55
π
φ＝2),当且仅当θ＝＋2kπ－φ,k∈Z时,λ＋μ取得最大值3.
2
4．(2019·拉萨联考)已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上运动,则点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是( )
A．4 B.5 C.5＋1 D.5－1
解析：选D 圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝1,圆心C(2,1),半径为1,圆心到直线l的距离为故选D.
5．(2019·赣州模拟)已知动点A(xA,yA)在直线l：y＝6－x上,动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0上,若∠CAB＝30°,则xA的最大值为( )
A．2 C．5
B．4 D．6
|2－2－5|
＝5,则圆上一动点P到直线l的距离的最小值是5－1.12＋22
解析：选C 由题意可知,当AB是圆的切线时,∠ACB最大,此时|CA|＝4.点A的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2＝16,与y＝6－x联立,解得x＝5或x＝1,∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.
6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时,d的最大值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C 由题知点P(cos θ,sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点,所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0),所以当m变化时,圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3,即d的最大值为3.
x2y217．(2019·安徽皖西联考)已知P是椭圆＋＝1上的一点,Q,R分别是圆(x－3)2＋y2＝和
16741
(x＋3)2＋y2＝上的点,则|PQ|＋|PR|的最小值是________．
4
解析：设两圆圆心分别为M,N,则M,N为椭圆的两个焦点, 11
因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－＋|PN|－＝2a－1＝2×4－1＝7,
22
2
的最大值为2,所以点P1＋m2
即|PQ|＋|PR|的最小值是7. 答案：7
8．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,－3),若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2
＝1上存在一点M满足|MA|＝2|MO|,则实数a的取值范围是________．
解析：设满足|MA|＝2|MO|的点的坐标为M(x,y),由题意得x2＋?y＋3?2＝2x2＋y2, 整理得x2＋(y－1)2＝4,
即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆,
原问题转化为圆x2＋(y－1)2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交点,
?a2＋?a－3?2≥1，据此可得关于实数a的不等式组?解得0≤a≤3,
22
?a＋?a－3?≤3，
综上可得,实数a的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]
9．(2019·唐山调研)已知点A(－3,0),B(3,0),动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x,y),则?x＋3?2＋y2＝2?x－3?2＋y2. 化简可得(x－5)2＋y2＝16,故此曲线方程为(x－5)2＋y2＝16. (2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示．
由题知直线l2与圆C相切,连接CQ,CM, 则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16, 当CQ⊥l1时,|CQ|取得最小值,|QM|取得最小值, |5＋3|此时|CQ|＝＝42,
2故|QM|的最小值为32－16＝4.
10．(2019·广州一测)已知定点M(1,0)和N(2,0),动点P满足|PN|＝2|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A,B为(1)中轨迹C上两个不同的点,O为坐标原点．设直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k.当k1k2＝3时,求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x,y), 因为M(1,0),N(2,0),|PN|＝2|PM|, 所以?x－2?2＋y2＝2?x－1?2＋y2. 整理得,x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y＝kx＋b.
22??x＋y＝2，由?消去y,整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) ?y＝kx＋b?
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)＞0,得b2＜2＋2k2. ① b2－22bk由根与系数的关系,得x1＋x2＝－,xx＝. ②
1＋k2121＋k2y1y2kx1＋bkx2＋b
由k1·k2＝·＝·＝3,
x1x2x1x2得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2,
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0. ③ 将②代入③,整理得b2＝3－k2. ④ 由④得b2＝3－k2≥0,解得－3≤k≤3. ⑤ 由①和④,解得k＜－33
或k＞. ⑥ 33
要使k1,k2,k有意义,则x1≠0,x2≠0,
所以0不是方程(*)的根,所以b2－2≠0,即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦,得k的取值范围为[－3,－1)∪－1，－
?
?3??3?∪，1∪(1, 3 ]． 3??3?
[2020理数]第九章 第二节 第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题
