第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题
圆的方程是高中数学的一个重要知识点,高考中,除了圆的方程的求法外,圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点,常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．
与圆有关的轨迹问题
[典例] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上,所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x,y)． 在Rt△PBQ中,|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2, 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法
[针对训练]
1．(2024·厦门双十中学月考)点P(4,－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A 设中点为A(x,y),圆上任意一点为B(x′,y′),
???x′＋4＝2x，?x′＝2x－4，由题意得,?则?
?y′－2＝2y，???y′＝2y＋2，
故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4,化简得,(x－2)2＋(y＋1)2＝1,故选A.
2．已知点P(2,2),圆C：x2＋y2－8y＝0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时,求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16,所以圆心为C(0,4),半径为4. ―→―→
设M(x,y),则CM＝(x,y－4),MP＝(2－x,2－y)． ―→―→
由题设知CM·MP＝0, 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0, 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上． 又P在圆N上,从而ON⊥PM.
1因为ON的斜率为3,所以l的斜率为－,
3故l的方程为x＋3y－8＝0. 又|OM|＝|OP|＝22,O到l的距离为
410
, 5
410141041016
所以|PM|＝,S△POM＝××＝,
52555故△POM的面积为
16
. 5
与圆有关的最值或范围问题 [例1] (2024·兰州高三诊断)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B使得MA⊥MB,则实数t的取值范围是( )
A．[－2,6] C．[2,6]
B．[－3,5] D．[3,5]
[解析] 法一：当MA,MB是圆C的切线时,∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A,B使得MA⊥MB,则MA,MB是圆C的切线时,∠AMB≥90°,∠AMC≥45°,且∠AMC＜90°,如图,所以|MC|＝10?5－1?2＋?t－4?2≤＝20,所以16＋(t－4)2≤20,所以2≤t≤6,故
sin 45°选C.
法二：由于点M(5,t)是直线x＝5上的点,圆心的纵坐标为4,所以实数t的取值范围一定关于 t＝4对称,故排除选项A、B.当t＝2时,|CM|＝25,若MA,MB为圆C的切线,则sin∠
CMA＝sin∠CMB＝
102
＝,所以∠CMA＝∠CMB＝45°,即MA⊥MB,所以t＝2时符合题意,252
故排除选项D.选C.
[答案] C
[例2] 已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： y
(1)x的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆． y
(1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, y
所以设＝k,即y＝kx.
x
当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时y
所以的最大值为3,最小值为－3.
x
(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
当直线y＝x＋b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时解得b＝－2±6.
所以y－x的最大值为－2＋6,最小值为－2－6. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．
由平面几何知识知,x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值,最大值．
因为圆心到原点的距离为?2－0?2＋?0－0?2＝2, 所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43, 最小值是(2－3)2＝7－43.
[方法技巧]
与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题,常见类型及解题思路如下：
常见类型 μ＝y－b型 x－a解题思路 转化为动直线斜率的最值问题 |2－0＋b|
＝3, 2|2k－0|k2＋1
＝ 3,解得k＝±3.
t＝ax＋by型 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动直线截距的最值问题,或用三角代换求解 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 [针对训练]
1．(2024·新余一中月考)直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M,N两点,已知O是坐―→―→―→
标原点,若|OM＋ON|≤|MN|,则实数t的取值范围是________．
―→―→―→―→―→
解析：由|OM＋ON|≤|MN|＝|ON－OM|, ―→―→
两边平方,得OM·ON≤0, 所以圆心到直线的距离d＝解得－2≤t≤2,
故实数t的取值范围是[－2,2 ]． 答案：[－2,2 ]
y－12．已知点P(x,y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动,则的最大值与最小值分别为________．
x－2y－1
解析：设＝k,则k表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率．
x－2当直线PA与圆相切时,k取得最大值与最小值．
设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2),即kx－y＋1－2k＝0. 由
|2k|3＝1,解得k＝±. 3k2＋1
33,－ 33
|t|2
≤×2＝1, 22
答案：
3．(2024·大庆诊断考试)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是________．
解析：由题可知圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心N(3,4)．设点P的坐标为(m,n),则|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1,又|PQ|＝|PO|,所以|PN|2＝|PO|2＋1,即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1,化简得3m＋4n＝12,即点P在直线3x＋4y＝12上,则|PQ|的最小值为点O到直线3x＋4y＝12的距离,点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝
答案：
12 5
1212,故|PQ|的最小值是. 55
[课时跟踪检测] 1．(2024·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1,若A,B是圆O上的不同两点,以AB为边作等边△ABC,则|OC|的最大值是( )
A.
2＋6
2
B.3 D.3＋1
C．2
解析：选C 如图所示,连接OA,OB和OC. ∵OA＝OB,AC＝BC,OC＝OC,
∴△OAC≌△OBC,∴∠ACO＝∠BCO＝30°, OAOC
在△OAC中,由正弦定理得＝,
sin 30°sin∠OAC∴OC＝2sin∠OAC≤2,故|OC|的最大值为2,故选C.
2．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切11
线,若a,b∈R且ab≠0,则2＋2的最小值为( )
ab
A．2 C．8
B．4 D．9
解析：选D 圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4,其圆心为(－2a,0),半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1,其圆心为(0,b),半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线,所以11?11
＋圆C1与圆C2相内切,所以?－2a－0?2＋?0－b?2＝2－1,得4a2＋b2＝1,所以2＋2＝?ab?a2b2?(4a2＋b2)＝5＋
b24a2
＋≥5＋2 a2b2
b24a2b24a211·2＝9,当且仅当2＝2,且4a2＋b2＝1,即a2＝,b2＝时2abab63
11
等号成立．所以2＋2的最小值为9.
ab
3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,动点P在以点C为圆心且与BD相―→―→―→
切的圆上．若AP＝λAB＋μAD,则λ＋μ的最大值为( )
A．3 C.5
B．22 D．2
解析：选A 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0,点C到直线BD的距离为4
－1)2＋(y－2)2＝.
5
22
＝,所以圆C：(x2252＋1
?25cos θ，2＋25sin θ?.
因为P在圆C上,所以P1＋
55??
―→―→―→―→―→
又AB＝(1,0),AD＝(0,2),AP＝λAB＋μAD＝(λ,2μ),
[2024理数]第九章 第二节 第3课时 深化提能——与圆有关的综合问题
