第2讲 两直线的位置关系
[基础题组练]
1．已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝( ) A．－3 3C．－ 2
B．－6 2D． 3
解析：选B.由直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行知，－＝3，a＝－6.
22．已知点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为( )
A．4 C．2
解析：选D.由题意得∠B＝90°， 即AB⊥BC，kAB·kBC＝－1， 所以
B．3 D．1
am＋13－m·＝－1. m－52－m7
解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，故选D.
2
3．(2024·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝( ) A．7 C．14
B.17 2
D．17
解析：选B.直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y|2m＋3|17
－3＝0的距离为10，所以＝10，求得m＝. 24＋36
4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( ) A．[－10，10] C．[－5，5]
B．[－10，5] D．[0，10]
解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为 |4×4－3×a－1||15－3a|
＝.
55又
|15－3a|
≤3， 5
即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
5．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点
B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0
B．3x－2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
??2－2＋1＝0，??x＝－1，
解析：选B.设A(x，y)，依题意可得?解得?即A(－1，1)．设
?y?y＝1，
??x＝－1，
00
0
0
00
x0y0
点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，－133
又＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. kAB22
6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为 ． 解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求44
得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
55
答案：3x＋19y＝0
7．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为 ． |3a＋2＋1||－a＋4＋1|1解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.
2a2＋1a2＋11
答案：或－4
2
8．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为 ．
解析：作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．
答案：(13，0)
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0. 又因为直线l1过点(－3，－1)， 所以－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2， 所以直线l1的斜率存在．所以＝1－a.① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 4
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
abb2
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)， 所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，
?2x＋y－11＝0，?
联立直线AC和直线CM的方程，得?
??2x－y－5＝0，
所以C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为?
?x0＋5，y0＋1?，
2??2?
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
??2x0－y0－1＝0，
所以?所以B(－1，－3)，所以
?x－2y－5＝0，00?
kBC＝，所以BC的方程为y－3＝(x－
6
565
4)，即6x－5y－9＝0.
[综合题组练]
1．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的是( )
①存在k，使得l2的倾斜角为90° ②对任意的k，l1与l2都有公共点 ③对任意的k，l1与l2都不重合 ④对任意的k，l1与l2都不垂直 A．①②④ C．①②③
B．①③ D．②④
解析：选A.对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾
??x－y－1＝0，
斜角为90°，故①正确；由方程组?可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，
?（k＋1）x＋ky＋k＝0，?
1k＋1kk此方程有解，可得l1与l2有交点，故②正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此21－1－1时l1与l2重合，故③错误；
由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为意的k，l1与l2都不垂直，故④正确．
k＋11
＝－1－≠－1，故对任－kk2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点
P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ．
解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|＋|PB|＝|AB|＝10(P在以AB为直径的圆上)． 122
所以|PA|·|PB|≤(|PA|＋|PB|)＝5.
2当且仅当|PA|＝|PB|＝5时等号成立． 答案：5
3．已知直线l：x－y＋3＝0.
(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′； (2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程． 解：(1)设点A′(x′，y′)，
2
2
2
y′－1??x′－2×1＝－1，??x′＝－2，由题知?解得?
?y′＝5，x′＋2y′＋1?
??2－2＋3＝0，
所以A′(－2，5)．
(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设
a＋6b＋0
??2－2＋3＝0，
对称点为M′(a，b)，则?解得M′(－3，9)．设l与l的交点为N，
b－0??a－6×1＝－1，
1
??x－y＋3＝0，
则由?得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2的方程
?x－2y－6＝0，?
为
y－9＝9＋9
(x＋3)，即2x－y＋15＝0.
－3＋12
4．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这
一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于42.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
???2x－y－6＝0，?x＝2，所以?解得?
?x－y－4＝0，?y＝－2，??
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0， 所以M与Q不可能重合，即|PM|＝42， 所以|PQ|<42，故所证成立．
2024版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系高效演练分层突破文新人教A版
