中山大学研究生入学测验数学分析试题解答
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2011年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.
科目代码：670
摘 要：本文给出了中山大学2011年研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案. 关键词：中山大学；研究生 数学分析
白 建 超 2012年5月30日
1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:
dx(1) ?(x?t)sintdt
dx0?xsinx(2) ?dx.
01?cos2x?123(3) lim??2?3?n??aaa??n??. an?(4) ??(x2?y2)dS,其中S为立体x2?y2?z?1的边界曲面.
S解(1) 原式?xxdx?sintdt??tsintdt 00dxx????sintdt?xsinx?xsinx0?(?cost)?1?cosxx0
(2)首先做一下说明：对积分?f(x)dx做变换t?x?a，则
0a? 所以
a0f(x)dx???f(a?t)dt??f(a?t)dt，
a00a? 故
a01f(x)dx?2??a0f(x)dx??f(a?x)dx.
0a???0xsinxdx?21?cosx ? ??(??x)sin(??x)?1??xsinxdx?dx ??01?cos2(??x)?2??01?cos2x??(??x)sinx1??xsinx?dx?dx??0? 22?02?1?cosx1?cosx??2??0sinx?dx??arctancosx221?cosx?0
?2? 4(3)首先级数?n?1?n在x?1时收敛，因为由比值判别法的极限形式有 xn?an?1kn?111 lim?lim??1，即x?1，所以对?k，
n??an??nxxk?1an当a?1时收敛，极限不存在，即发散；
n?1k1k当a?1时收敛，极限存在，记当Sn??k则Sn??k,两式相减解得
ak?1ak?2ana?n1n?. Sn????kn?1?a?1?k?1aa? 又limnx1?lim?lim?0,所以
n??an?1x??ax?1x??ax?1lna?123 lim??2?3?n??aaa?n?a?n1n? ?n??lim??kn?1?a?n??a?1?aa?k?1?1aa?a ?a?11?1(a?1)2a(4)记上顶面为，S1:z?1,x2?y2?1
锥面：S2:z?x2?y2,x2?y2?1.
22?zy?1； 当z?1时，1?zx22?zy?2.则 当z?x2?y2，1?zx??(xS2?y2)dS???(x2?y2)dS???(x2?y2)dS.
S1S2?x2?y2?1??(x2?y2)dxdy?2?1x2?y2?1??2(x2?y2)dxdy
?(1?2)?d??r3dr00??2(1?2)?x2?y222?22,x?y?02.(15分)考察函数f(x,y)??x?y在点(0,0)的可微性. 22,x?y?0?0?解 本人感觉此题有问题，应该是
?x3?y322?22,x?y?0f(x,y)??x?y 22,x?y?0?0?若不是，显然fx(0,0)和fy(0,0)都不存在，lim??0f(?x,?y)?f(0,0)??xfx(0,0)??yfy(0,0)p也不存在，故不可微.
下面给出我的个人见解：
f(?x,0)?f(0,0)?x?lim?1?x???x???x?x
f(0,?y)?f(0,0)??yfy(0,0)?lim?lim??1?x???x???y?yfx(0,0)?lim而
lim??0f(?x,?y)?f(0,0)??xfx(0,0)??yfy(0,0)p
?(?x,?y)?(0,0)lim?x3??y3??x??y?x2??y2?x??y?22
?x?y(?x??y)(?x2??y)322322(?x,?y)?(0,0)lim
?limk?k2(1?k)?y?k?x?x?0
与k的取值有关，故此极限不存在，所以f(x,y)在点(0,0)的不可微. 3.(15分)求空间一点(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的最短距离. 解 设(x,y,z)为平面Ax?By?Cz?D?0上的任意一点，则目标函数为
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2.
可以转化为求函数f(x,y,z)?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2在约束条件
Ax?By?Cz?D?0的最小值问题.此题有两种解法
(方法1)利用拉格朗日乘数法求条件极值，设
L(x,y,z,?)?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2??(Ax?By?Cz?D)，
对L分别求偏导数，并令其为零，即
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