拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 L[af(t)]?aF(s) L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) df(t)]?sF(s)?f(0)dtd2f(t)L[]?s2F(s)?sf(0)??f?（0） 2dt???????L[ndnf(t)nL???sF(s)??sn?kfndtk?1k?1df(t)f(k?1)(t)?dtk?1??????(k?1)(0)初始条件为0时 dnf(t)L[]?snF(s) ndtL[?f(t)dt]?2 3 积分定理 一般形式 F(s)[?f(t)dt]t?0?ss2F(s)[?f(t)dt]t?0[??f(t)(dt)]t?0 L[??f(t)(dt)]?2??ss2s?共n个??nF(s)1nL[???f(t)(dt)]?n??n?k?1[???f(t)(dt)n]t?0sk?1s共n个初始条件为0时 ?F(s)L[???f(t)(dt)n]?n s共n个4 延迟定理（或称t域平移定理） L[f(t?T)1(t?T)]?e?TsF(s) 5 衰减定理（或称s域平移定理） L[f(t)e?at]?F(s?a) 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 limf(t)?limsF(s) t??s?0limf(t)?limsF(s) t?0s??L[?f1(t??)f2(?)d?]?L[?f1(t)f2(t??)d?]?F1(s)F2(s) 00tt2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) 1
Z变换E(z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 δ(t) ?T(t)???(t?nT) n?0?1 z z?11 1?e?Ts1 s1(t) z z?11 2s1s3t t22Tz(z?1)2 Tz(z?1)2(z?1)321sn?11s?atn n!(?1)n?nzlim() n?aTa?0n!?az?ezz?e?aTe?at 1(s?a)2te?atTze?aT(z?e?aT)2a s(s?a)1?e?at(1?e?aT)z (z?1)(z?e?aT)b?a (s?a)(s?b)e?at?e?bt zz ?z?e?aTz?e?bTzsin?T 2z?2zcos?T?1z(z?cos?T) z2?2zcos?T?1?s2?? 2 2 eesin?t ss2??2cos?t ?at?(s?a)2??sin?t cos?t at/T ze?aTsin?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz2?ze?aTcos?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz z?a s?a(s?a)2??2?at1 s?(1/T)lna2
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式
B(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 （n?m） F(s)??A(s)ansn?an?1sn?1???a1s?a0式中系数a0,a1,...,an?1,an，b0,b1,?bm?1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将
F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① A(s)?0无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
ncicncc1c2F(s)??????????i （F-1）
s?s1s?s2s?sis?sni?1s?si式中，s1,s2,?,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或
ci?lim(s?si)F(s) （F-2）
s?sici?B(s) （F-3）
A?(s)s?si式中，A?(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
?nci?n?st f(t)?L?F(s)??L???＝?cie (F-4)
?i?1s?si?i?1?1?1i②
A(s)?0有重根
设A(s)?0有r重根s1，F(s)可写为
F?s??B(s) r(s?s1)(s?sr?1)?(s?sn)=
cicncrcr?1c1cr?1 ???????????rr?1(s?s1)(s?s1)(s?s1)s?sr?1s?sis?sn式中，s1为F(s)的r重根，sr?1，…, sn为F(s)的n-r个单根；
其中，cr?1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr?1，…, c1则按下式计算：
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Laplace拉氏变换公式表
