2024届超级全能生9月联考B卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 设全集U??a,b,c,d,e?，集合A??a,c?，B??b,c,d?，则?UA?B?（ ）
A．?c? B．?b,c,d,e? C．?b,c,d? D．?b,d?
2. 已知角?的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆（以O为圆心）相交于A5点，若A的横坐标为，则（ ）
5552525 A．sin?? B．cos?? C．sin?? D．cos?? 55553. 如图，直线Ax?By?C?0?AB?0?的右上方有一点?x0,y0?，则Ax0?By0?C的值（ ）
A．与A同号
B．与B异号
C．与C同号
D．无法判断
y?x0，y0?x
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2??2 B．32??4 C．22??2 D．2??4
33正视图2俯视图5. 函数y?ax2?2bx与y?x在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
y21x1A121B1221x1C12y21x1OD12y21xyba1侧视图
6. 若等比数列?an?的通项公式an?qn?1，其前n项和为Sn，则“0?q?
A．充分必要条件
1”是“Sn?2”的（ ） 2
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
117. 已知函数f?x??ax3?bx2?cx?d?a,b,c,d?R?的单调递增区间是??3,1?，则（ ）
32
A．a?b?c
B．b?c?a
C．b?a?c
D．a?c?b
8. 已知点A0,?5，B?2,0?，点P为函数y?21?x2图象上的一点，则PA?PB的最小值为（ ）
A．1?25
B．7
C．3
D．不存在
??9. 三棱锥O?ABC满足OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，空间一直线OD与平面OAB、平面OAC、平面OBC所
成角分别为?，?，?，则（ ）
3?3?3? C． ???????? D．????????2244210. 已知点P?a1,b1?，Q?a2,b2?是曲线y??x????lnx（?为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组
A．0???????? B．
?????????a1x?b1y?1，的解的情况，下列说法错误的是（ ） ?ax?by?1?22
A．当??0时，对任意的a1，a2?R?，方程组总是有解 B．当??0时，对任意的a1，a2?R?，方程组总是有解 C．当??0时，存在a1，a2?R?，使方程组有唯一解 D．当??0时，存在a1，a2?R?，使方程组有唯一解
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11. 数学家高斯曾经研究过这么一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点，被称为著名的高斯
圆内整点问题，我国著名数学家陈景润于1963年在数学学报发表《圆内整点问题》而受到华罗庚赏识被调到中科院，设圆x2?y2?5,则圆内（包括圆上）整点有 个．
12. 已知复数z满足z?z?3?2i，则复数z的虚部为 ，z? ．
13. 若x3?x10?a0?a1?1?x??a2?1?x???a10?1?x?，则a0? ，a9? ．
2m?114. 若关于x的方程sinx?3cosx?有意义，则m的取值范围为 ．
m?415. 一个盒子中有红、绿颜色的小球各2个，黄色小球1个，每次从中取出一个，取出后不放回．当取出第二种颜
色时即停止，设停止取球时，取球的次数为?，则P???2?? ，则E???? ． b?2e1+e2，16. 已知e1，满足e1?e2?3，若a?3e1?e2，则e1，e2为单位向量，e2的夹角的最大值是 ，a在b上的投影的最小值为 ．
a1???1?x?,a?0?与x轴的交点为A，若对y?f?x?的图象上的任意一点P，AP??m,n?，在17. 已知f?x??2x?1?2?y?f?x?的图象上都存在一点Q，使得AQ??n,?m?，则a? ．
210
三、解答题：5小题，共74分
18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2（1）求角A；
b（2）求的取值范围．
c
B?C3?cosBcosC?． 24
19. 如图AB是O的直径，动点P在O所在平面上的射影恰是O上的动点C，2PC?AB，D是PA的中点，
PO与BD交于点E，F是PC上的一个点．
PF（1）若EF∥平面ABC，求的值；
FC（2）若PF?FC，AB?2CB，求CE与平面BEF所成角的正弦值．
PFBCDEOA
20. 已知数列?an?，?bn?满足an?1?an?1?bnn?Ν?,n?2． an??（1）若a1?b1?1，a2?2，2bn?bn?1，求?an?，?bn?的通项公式；
（2）若bn??n，数列?an?是共有k个项的有限数列，a1?5，a2?7，求k的值．
21. 设抛物线y2?4x的焦点为F，A?x1,y1?，B?x2,y2?为抛物线上的两点（AB不经过焦点F），且直线AB斜率存
在，若AB的中垂线恰好经过P?5,0?． （1）求x1?x2的值；
（2）若AB的中垂线交y轴于C点，求△ABC面积与△FAB面积之和的最大值．
yCFOBPxA
22. 设函数f?x??alnx?2x?3，x1，x2?x1?x2?为函数f?x?的两个零点．
（1）求a的取值范围；
x（2）当2取得最小值时，求a的值．
x1
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