2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛
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暨2013年吉林省高中数学联赛试题
（2013年5月19日 星期日 上午 8:30---11：00） 题号 一 二 三（12） 三（13） 三（14） 三（15） 总 分 得分 评卷人 复核人 考生注意：本试卷共计4页，15道题，满分150分
得分 一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
本题共有5个小题，每小题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个
是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或多选一律得0分.
1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）
A．2??3?
B．83?
2 2 C． 4??233? 2 2 32 2 D．2??3? 正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
2．已知函数f(x)?2sin(?x??3)?cos(?x??6)(??0)的最小正周期为?，则?的值为（ ）A． 4
B．2 C．
112 D． 4 3．已知函数f(x)?ax?b(x?[0,1])，则“a?2b?0”是“f(x)?0恒成立”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
4．若函数y?f(x)图像上的任意一点P的坐标(x,y)满足条件|x| ? |y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是 （ ）
A．f(x)?ex?1 B．f(x)?ln(x?1) C．f(x)?sinx D．f(x)?tanx
2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第1页（共4页）
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5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为3的概率为( )
A．
1111 B． C． D．
3264
得分
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）
请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果.
6．已知函数f(x)?Acos(?x??4??)(A?0)在(0,)上是减函数，则?的最大值是 .
87． 三棱锥S?ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?，AC?2,BC?13,SB?29. 则直线SC与AB所成角的余弦值为_____________.
x2y28．椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆半径等
ab6，则椭圆的离心率为 ______． 6????????9．设a,b为两个非零向量，且a?2,a?2b?2，则a?b?b的最大值是 _____ ．
于椭圆焦距的
10．对于数列{an}，如果存在一个数列{bn}，使得对于任意的n?N?，都有an?bn，则把
{bn}叫做{an}的“弱数列”.设an?n3?n2?2tn?t2，bn?n3?2n2?n?是{an}的“弱数列”，则实数t的取值范围是 ． 11．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_______________．
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5，(n?N?), 且{bn} 4DDCA(P)ABC
得分 三、解答题
（本题共4道大题，其中12题15分，13、14、15题每题25分，满分90分）
212．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an ?an?2Sn?0， cn?anbn，（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若b1?1?cn?的前n项和Tn； ， 2bn?bn?1?0(n?2,n?N*)， 求：数列（3）是否存在整数m、M，使得m?Tn?M对任意正整数n恒成立，且M?m?4？说明理由.
13．已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，bcosC?3bsinC?a?c?0. （1）求证A,B,C成等差数列； （2）若b?3，求2a+c的最大值.
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14． （1）已知0?x?1，求证：x?3?2x4?2x； 8（2）已知x,y,z?0且x?y?z?1,
求f(x,y,z)?2x4?y2?z的最大值和最小值.
15．求方程x3?y3?x2y2?(x?y)2z?0的所有非负整数解.
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）题答要不内线订装封密（
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