第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果x?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a?0．
③根式的性质：(na)n?a；当n为奇数时，
nnnan?a；当n为偶数时，
?a (a?0)． an?|a|????a (a?0) mn（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：a数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：a? mn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分
1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且aan?1)．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①a?a?arrrsr?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
③(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数 函数名称 定义 图象 指数函数 x函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数 ra?1 yy?ax0?a?1 y?axyy?1(0,1)y?1(0,1)O整理为word格式
xOx
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在R上是增函数 R (0,??) 图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 非奇非偶 在R上是减函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． a变化对
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
x ①若a?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫
做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
x③对数式与指数式的互化：x?logaN?a?N(a?0,a?1,N?0)．
（2）几个重要的对数恒等式
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）． （4）对数的运算性质 如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么
①加法：logaM?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logalogNn③数乘：nlogaM?logaM(n?R) ④aa?NM N整理为word格式
⑤
logabMn?nlogaM(b?0,n?R)b ⑥换底公式：
logaN?logbN(b?0,且b?1)
logba【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 yx? 1y?logax0?a?1 y 1x? y?logax (1,0) x 图象 O(1,0)xO定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) 图象的影响 a变化对 (6)反函数的概念
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子
x??(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确
定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y的函数，函数x??(y)叫做函数
y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，习惯上改写成y?f?1(x)．
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（7）反函数的求法
?1①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y?f(x)中反解出x?f(y)；
?1?1③将x?f(y)改写成y?f(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
?1 ①原函数y?f(x)与反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称．
?1②函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f(x)的值域、定义域．
?1'③若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y?f(x)的图象
上．
④一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y?x?叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．
（2）幂函数的图象 整理为word格式
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． ④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其p中p,q互质，p和q?Z），若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
?⑤图象特征：幂函数y?x,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下
qpqp方，若x?1，其图象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
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高中 基本初等函数总结归纳
