数列通项与求和
一．求数列通项公式
1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）
例．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，
S?a255．求数列?an?的通项公式．
2．公式法：已知Sn（即a1?a2?L?an?f(n)）求an，用作差法：
a?a1,(n?1)n???S2)
n?Sn?1,(n?例．设正整数数列{an}前n项和为Sn，满足S1n?4(an?1)2，求an
3.累加法：若an?1?an?f(n)求
an：
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)?a1(n?2)。
例．已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．
4．累乘法：已知
an?1a?f(n)求an，用累乘法：naann?a?an?1?L?a2?a1(n?2)n?1an?2a1 例．已知数列?a2nn?满足a1?3，an?1?n?1an，求an。
5．已知递推关系求an，用构造法（构造等差．等比数列）。
例． 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an．
二．数列求和
1． 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时
需分类讨论．；③常用公式：1?2?3?L?n?12n(n?1)，
12?22?L?n2?16n(n?1)(2n?1)，13?23?33?L?n3?[n(n?1)22]．
例1．已知log?123x?log，求x?x?x3?????xn????的前n项和.
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2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
例2． 求数列的前n项和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，
3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）． 例3．求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）．
例4.求和：
S31n?1?3x?5x2?7x?????(2n?1)xn?………………………
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：
①
n(n1?1)?1n?n1?1；②n(n1?k)?1k(1n?n1?k)； ③11111k2?k2?1?2(k?1?k?1)，1k?1k?1?1(k?1)k?1111k2?(k?1)k?k?1?k； ④1n(n?1)(n?2)?12[1n(n?1)?1(n?1)(n?2)] ；
⑤n(n?1)!?1n!?1(n?1)!；
⑥2(n?1?n)?22n?n?1?1n?n?n?1?2(n?n?1)．
例5．求数列
11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和．
3．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1
(l)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=
an，求数列{cn}的前n项和Tnbn
。
练习：
1. 已知数列31111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________ 481632
2.已知数列{an}的首项a1=
3．设正值数列{an}的前n项和为sn，满足sn?(3an3，an+1=，n=1，2，…，求{an}的通项公式；
2an+15an?12) 21求anan?1（1）求a1，a2，a3（2）求出数列{an}的通项公式（3）设bn?数列{bn}的前n项和Tn
作业:
1．数列{an}的通项公式为an=1，已知前m项和Sm=9，则m为( )
n+1+nA． 99 B．98 C．10 D．9
2．数列1，1+2，l+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n项和等于( )
A．2n+1-n B．2n C．2n-n D．2n+1-n-2
数列通项公式与求和习题(经典)
