利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角

备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬

授课时间：2016年11月28日

一、高考考纲要求：

能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．

二、命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.

三、教学目标

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；

情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标

2

系，方向向量，法向量的魅力.

四、教学重难点

重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；

难点：将立体几何问题转化为向量问题.

五、教学过程

（一）空间角公式

1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，

m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m所成的角

为?，则cos??cosla,b?a?bab a. b?

? m2、线面角公式：设直线l为平面?的斜线，a为l的方向向量，n为平面?的法向量，?为l与?所成的角，则

3

a?nsin??cosa,n?an.

an

3、面面角公式：设n，n分别为平面?、?的法向

12??O n1,n2量，二面角为?，则??或????n1,n2（需要根据

n1,n2?n1?n2n1n2具体情况判断相等或互补），其中cos.

（二）典例分析

如图，已知：在直角梯形OABC中，OA//BC，?AOC?90，

SO?面OABC，且OS?OC?BC?1,OA?2.求：

S （1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值； （2）OS与面SAB所成角?的正弦值； （3）二面角B?AS?O的余弦值.

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O

B C A

解：如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，

B(1,1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，于是我们有SA?(2,0,?1)，，OB?(1,1,0)，OS?(0,0,1)，

SA,OB?SA?OBSAOB?210?55?2AB?(?1,1,0)（1）cos，

105所以异面直线SA和OB所成的角的余弦值为（2）设平面SAB的法向量n?(x,y,z)， 则

??n?AB?0,???n?SA?0,.

?x?y?0,，即? ?2x?z?0.?取x?1，则y?1，z?2，所以n?(1,1,2)，

?sin??cosOS,n?OS?nOSn?26?31?6. 1（3）由（2）知平面SAB的法向量n?(1,1,2)， 又令nOC?平面AOS，?OC是平面AOS的法向量，

，则有cosn1,n2?n1?n2n1n266,0)2?OC?(0,1?16?6?16. ∴二面角B?AS?O的余弦值为

（三）巩固练习

. 11、在长方体ABCD?ABCD中，AB?2，BC?AA?1，点E、

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