代数式求值的几种方法

代数式求值的几种方法

代数式的求值问题，是初中代数基础知识与基本技能的重要内容。求代数式的值应对所给定的代数式加以具体情况具体分析，针对题设条件与所求代数式的本质特点及内在联系，灵活选用适当方法与技巧，方能使求解过程简捷、科学、合理。

一、公式法

例1 ：已知a + b = 1 ，a2 + b2 = 2 求a6 +b6 的值

分析：本题若根据已知条件先求出a、b的值，然后代入所求式中计算，虽不失为一种思考途径，但求出的a、b的值均为复杂的无理数，而所求代数式中的a、b又均为高次幂，从而使运算非常复杂。若借助乘法公式先将所求代数式化为“a + b ”与“ab”的结构形式，则问题的解答将简便得多。

解：由a + b = 1,有（a + b ）2 =1 ,即a2?2ab?b2?1 又a 2 + b2 =2 ，∴a b = －

12?a6?b6?a2?b2a4?b4?a3b4?a4b3222???a??a?b??a?ab?b??718???b22??2a2b2??ab??a?b?33?1???21???1???1??2?????2?2????????12???4???2???

另外考虑a7 + b7 的值的求法 二、参数法 例2：若?a2bc2a?b?c? ，求的值 45a?b?c分析：本题题设给出a、b、c的三个连比式，若引入一个参数，则所求代数式的分子、分母均由三元转化为一元，从而通过化简而求解。

解：设?

a2bc??k ，由题意k≠0，则a = 2k ，b = 4k ，c =5k 45

所以

2a?b?c4k?4k?5k3k = ??1

a?b?c2k?4k?5k3k三、倒数法

x2x例3：已知 2的值 ?7 ，求 4x?x2?1x?x?1分析：由已知式与所求式之间的结构及各自分子、分母的幂次数特点出发，本题使用“倒数法”较为简便。

x2?x?1118? ，即x?? 解：由已知取倒数，则x7x7x4?x2?111?15??8?2再由未知式取倒数： ?x??1?x??1??1?????22xxx?49??7?x249所以42 =

x?x?11522四、消元法

例4 已知x、y、z均不为零，且满足4x －3y －6z =0

2x2?3y2?6z2x + 2y － 7z = 0 ，求 2 的值 。 22x?5y?7z五、整体代入法

x4?6x3?4x2?34x?23例5：若x － 8x +13 =0 ，求 的值。 2x?8x?182

六、利用根与系数的关系

例6已知α≠β 且 α2 +3α－7 = 0 β2 +3β－7 = 0 求：

???的值 22??七、分子有理化法

例7已知a?5?a?2?2 求a2 + 10a +25的值

分析：若通过解无理方程求出a的值，在代入求解，运算

量很大，不见便，注意观察所求式是a －5的平方，而已知式里有a － 5 的平方根，若视a?5 与a?2为

两个单元，即知其和，在利用分子有理化可得其差，从而得出a?5的值，使问题得到解决。 精心搜集整理，只为你的需要