第三章习题
( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22)
3.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端
在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为
4c2?2r2
c3.1解 如题3.1.1图。
??yN2?N1o?BA题3.1.1图均质棒受到碗的弹力分别为N1，N2,棒自身重力为G。棒与水平方向的夹角为
??Gx
?。设棒的长度为l。
由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的和外力为零。沿过A点且与
z轴平行的合力矩为0。即：
?F?Ncos2??Nsin??0① ?F?Nsin2??Ncos??G?0②
x12y12l?Mi?N2c?G2cos??0③
由①②③式得：
2c?2cos??1?④ l?2cos?2又由于
2rcos??c,
即
c⑤
cos??2r将⑤代入④得：
4?c2?2r2? l?c
3.6
把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种
情况下分子的中心主转动惯量：
?a?二原子分子。它们的质量是m1，m2，距离是l。
?b?形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h，底
边的长度为a。底边上两个原子的质量为m1，顶点上的为m2。
ym2C?h xm1m1a第3.6（b)题图
3.6解 （a）取二原子的连线为x轴，而y轴与z轴通过质心。O为质心，则Ox，
Oy，Oz轴即为中心惯量主轴。
设m1、m2的坐标为?l1,0,0?,?l2,0,0?，因为O为质心（如题3.6.2图）
y
m1z故
om2x题3.6.2图m1l1?m2l2?0①
且
l2?l1?l ②
由①②得
m2lm1ll1??,l2?m1?m2m1?m2所以中心惯量主轴：
I1??mi?y2i?z2i??0
m1m22I2??mi?zi?xi??l
m1?m222m1m22I3??mi?xi?yi??l
m1?m222（b）如题3.6.3图所示，
yAm2Coz题3.6.3图该原子由A、B、D三个原子构成。C为三个原子分子的质心。由对称性可知，图中Cx、Cy、Cz轴即为中心惯量主轴。设A、B、D三原子的坐标分别为
Bm1xm2D?0,yA,0?又由于
，???a??a?因为C为分子的质心。所以
,yB,0?,?,yD,0??2??2?=
mAyA?mByB?mDyDyC?mA?mB?mDm2yA?m1yB?m1yD?0①
m2?m1?m1yB?yD由①②③得：
②
yA?yB?h③
2m1hm2hyA?.yB?yD??2m1?m22m1?m2
故该分子的中心主转动惯量
2m1m22I1??mi?yi?zi??h?i?A,B,D?
2m1?m2222maI2??mi?z2i?x2i??1?i?A,B,D?
22m1m22m1a?i?A,B,D? I3??mi?xi?yi??h?2m1?m22222
3.7如椭球方程为
xyz ???1a2b2c2试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为
3.7解 如题3.7.1图所示。
222m，并且密度?是常数。
yb
acz题3.7.1图
x沿
y轴平行于Oxy平切椭球得切面为一椭圆，则
理论力学第三章习题
