中考数学之存在性问题解题策略

专题04 相切的存在性问题解题策略

专题攻略

一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．

第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．

二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根． 第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．

例题解析

例1．如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点．

（1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值； （2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

图1-1

例2．如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

图2-1 图2-2

例3．如图3-1，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值．

图3-1

例4．如图4-1，已知抛物线y＝mx2＋bx＋c(m＞0)经过A(1, 0)、B(－3,0)两点，顶点为P，与y轴交于点D．⊙C的直径为A、B，当m为何值时，直线PD与⊙C相切？

图4-1

例5．如图5-1，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝18，sin?BCD?4，点P5从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t秒．如果⊙P的半径为6，⊙Q的半径为4，在移动的过程中，试探索：

t为何值时⊙P与⊙Q外离、外切、相交？

图5-1

例6．如图6-1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝3厘米，⊙O为△ABC的内切圆． （1）求⊙O的半径；

（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

图6-1

例7．如图7-1，已知直线l：y?4x?4与x轴、y轴分别交于点A、B，⊙O的半径为1，点C是y3轴正半轴上的一点，如果⊙C既与⊙O相切，也与直线l相切，求圆心C的坐标．

图7-1

例8．如图8-1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，∠BDE＝∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D．设BD＝x．

（1）当⊙D与边AB相切时，求x的值；

（2）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当⊙D与⊙E相切时，求x的值．

图8-1

例9．如图9-1，一个Rt△DEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB＝12，DE＝4，DF＝3．如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点．同时Rt△DEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A时，两个运动都停止．在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由．

图9-1 图9-2