2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A （7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)?2 (14)10
（15）64 （16）216000
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为12分）
解：（I）由已知及正弦定理得，2cosC?sin?cos??sin?cos???sinC， 即2cosCsin??????sinC． 故2sinCcosC?sinC． 可得cosC?1?，所以C?． 23133absinC?． 22（II）由已知，又C??3，所以ab?6．
22由已知及余弦定理得，a?b?2abcosC?7． 故a?b?13，从而?a?b??25．
222所以???C的周长为5?7． （18）（本小题满分为12分）
解：（I）由已知可得?F?DF，?F?F?，所以?F?平面?FDC． 又?F?平面???F，故平面???F?平面?FDC．
（II）过D作DG??F，垂足为G，由（I）知DG?平面???F．
????????以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角
6
坐标系G?xyz．
?由（I）知?DF?为二面角D??F??的平面角，故?DF??60，则DF?2，DG?3，
可得??1,4,0?，???3,4,0?，???3,0,0?，D0,0,3． 由已知，??//?F，所以??//平面?FDC．
又平面??CD?平面?FDC?DC，故??//CD，CD//?F．
由??//?F，可得???平面?FDC，所以?C?F为二面角C????F的平面角，
???C?F?60?．从而可得C?2,0,3．
??????????????????所以?C?1,0,3，????0,4,0?，?C??3,?4,3，?????4,0,0?．
????设n??x,y,z?是平面?C?的法向量，则
????????x?3z?0?n??C?0?，即， ??????????4y?0?n????0所以可取n?3,0,?3．
???????????m??C?0设m是平面??CD的法向量，则?????， ???m????0??n?m219???同理可取m?0,3,4．则cosn,m?????．
nm19??故二面角???C??的余弦值为?219．学科&网 19
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P(X?16)?0.2?0.2?0.04；
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P(X?17)?2?0.2?0.4?0.16；
P(X?18)?2?0.2?0.2?0.4?0.4?0.24； P(X?19)?2?0.2?0.2?2?0.4?0.2?0.24； P(X?20)?2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.2； P(X?21)?2?0.2?0.2?0.08； P(X?22)?0.2?0.2?0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （Ⅱ）由（Ⅰ）知P(X?18)?0.44，P(X?19)?0.68，故n的最小值为19. （Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当n?19时，EY?19?200?0.68?(19?200?500)?0.2?(19?200?2?500)?0.08
?(19?200?3?500)?0.04?4040.学科&网
当n?20时，
EY?20?200?0.88?(20?200?500)?0.08?(20?200?2?500)?0.04?4080.
可知当n?19时所需费用的期望值小于n?20时所需费用的期望值，故应选n?19. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|，EB//AC，故?EBD??ACD??ADC， 所以|EB|?|ED|，故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.
又圆A的标准方程为(x?1)?y?16，从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4. 由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
22x2y2??1（y?0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).
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?y?k(x?1)?2222由?x2y2得(4k?3)x?8kx?4k?12?0.
?1??3?48k24k2?12则x1?x2?，x1x2?. 224k?34k?312(k2?1)所以|MN|?1?k|x1?x2|?.
4k2?32过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y??12，所以 (x?1)，A到m的距离为2kk?14k2?3|PQ|?24?()?4.故四边形MPNQ的面积 22k?1k?1222S?11|MN||PQ|?121?2.学科&网 24k?3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).
当l与x轴垂直时，其方程为x?1，|MN|?3，|PQ|?8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83). （21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f'(x)?(x?1)ex?2a(x?1)?(x?1)(ex?2a)． （i）设a?0，则f(x)?(x?2)ex，f(x)只有一个零点．
（ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0．所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． 又f(1)??e，f(2)?a，取b满足b?0且b?lna，则 2f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0， 22故f(x)存在两个零点．
（iii）设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)． 若a??
e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，因此f(x)在(1,??)上单调29
递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．学科&网 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,ln(?2a))时，f'(x)?0；当x?(ln(?2a),??)时，2f'(x)?0．因此f(x)在(1,ln(?2a))单调递减，在(ln(?2a),??)单调递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0,??)．
（Ⅱ）不妨设x1?x2，由（Ⅰ）知x1?(??,1),x2?(1,??)，2?x2?(??,1)，f(x)在(??,1)上单调递减，所以x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2)，即f(2?x2)?0． 由于f(2?x2)??x2e2?x2?a(x2?1)2，而f(x2)?(x2?2)ex2?a(x2?1)2?0，所以
f(2?x2)??x2e2?x2?(x2?2)ex2．
设g(x)??xe2?x?(x?2)ex，则g'(x)?(x?1)(e2?x?ex)． 所以当x?1时，g'(x)?0，而g(1)?0，故当x?1时，g(x)?0． 从而g(x2)?f(2?x2)?0，故x1?x2?2．
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设E是AB的中点，连结OE，
因为OA?OB,?AOB?120?，所以OE?AB，?AOE?60?．
在Rt?AOE中，OE?与⊙O相切．
1即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线ABAO，
2DOO'ECAB
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2016年广东高考理科数学及答案Word版
