2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线l1：ax?2y?6?0，l2：x?(a?1)y?a2?1?0，若l1?l2，则a? 。 2．函数f(x)?3sin2x?sinxcosx?3????（x??，?）的值域为 。 2?122?3．在三棱锥D?ABC中，AB?BC?2，AB?BC，BC?CD，DA?AB，?CDA?60?。则三棱锥D?ABC的体积为 。
y2?1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在4．已知F1、F2为双曲线C：x?242第一象限。若
PF14?，则△PF1F2内切圆半径为 。 PF235．已知集合A??xx2?2x?8?0?，B??xx2?2ax?4?0?。若a?0，且A?B中恰有1个整数，则a的取值范围为 。
6．若分数
pp（p，q为正整数）化成小数为?0.198，则当q取最小值时，
qqp?q? 。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 8．已知点A(1，?1)，B(4，0)，C(2，2)。平面区域D由所有满足AP??AB??ACy)组成的区域。若区域D的面积为8，则a?b的最小值（1???a，1???b）的点P(x，为 。
23?8??8??8?9． A???????????9??9??9??82014???（符号?x?表示不?被63除的余数为 。9??超过x的最大整数。）
10．若a，b，c为关于x的方程x3?x2?x?m?0的三个实根，则m的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知?an?为递增的等比数列，且a1?a2?6，a3?a4?24。bn?的前n项和为Tn，求证：对一切正整数n均有，Tn?3。
an，数列?bn(an?1)2?x2y2?1的右焦点，12．已知F为椭圆C：?椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到
43直线l：x?m的距离之比为
（1）求直线l方程；
1。 2（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点。以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
13．如图，在五边形ABCDE中，BC∥AE，AB?BC?AE，?ABC??CDE，M为CE中点，O为△BCD的外心，且OM?MD。延长DM至点K，使得MK?MD。
（1）求证：?BKC??BDC； （2）求证：?ABC?2?BDA。
14．已知f(x)?aln(x?1)?1?3x?1。 x?1（1）若x?0时，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证：立。
15．给定2014个和为1的非负实数a1，a2，a3，…，a2014。
证明：存在a1，a2，a3，…，a2014的一个排列x1，x2，x3，…，x2014，满足
x1x2?x2x3??x1x?xx?2013201420141。
2014234???2224?1?14?2?14?3?1?n?11?ln(2n?1)对一切正整数n均成24?n?14
2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线l1：ax?2y?6?0，l2：x?(a?1)y?a2?1?0，若l1?l2，则a? 。 【答案】
2 32。 3【解答】l1?l2?a?1??2(a?1)?0?a?2．函数f(x)?3sin2x?sinxcosx??1?1? 【答案】 x???，?2?3????（x??，?）的值域为 。 2?122?【解答】f(x)?3?1?cos2x1313??sin2x??sin2x?cos2x?sin(2x?)。 222223??2?1?????由x??，?知，??2x??，??sin(2x?)?1。
63323?122?3．在三棱锥D?ABC中，AB?BC?2，AB?BC，BC?CD，DA?AB，?CDA?60?。则三棱锥D?ABC的体积为 。
【答案】
4 3【解答】如图，作DE?面ABC于E，连EA、EC、ED。 ∵ BC?CD，DA?AB，
∴ EC?CB，EA?AB，四边形EABC为矩形。 由AB?BC知，四边形EABC为正方形，且DA?DC。 又?CDA?60?，因此，△DAC为正三角形，DA?AC。 ∴
22EA?ED?E2A?2ED?EC?2。 E。于是，C114∴ 三棱锥D?ABC的体积为?(?2?2)?2?。
323y2?1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在4．已知F1、F2为双曲线C：x?242PF14第一象限。若?，则△PF1F2内切圆半径为 。
PF23
全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
