厦门市2019-2020学年度第一学期高三年级质量检测
数学（理科）试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的． 1．设集合A?xx?1，B?xx2?x?6?0，则AA．??3，???
B．??2，???
????B?（ ）
D．?13，?
C．?1，2?
，c?d?0，则下列不等式成立的是（ ） 2．已知a?bA．a2?b2
B．a?d?b?c
C．
ab? cd
D．ac?bd
cos??????3．已知a??0，??，A．-2
5，则tan?的值为（ ） 5B．?1 2 C．
1 2 D．2
4．阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62?，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
x2y2??1 A．
362A．60
x2y2??1 B．
1816B．70
x2y2??1 C．
126C．80
x2y2??1 D．98D．90
5．在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）
6．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ） A．
1 27 B．
1 9 C．
1 3 D．
2 37．在边长为2的菱形ABCD中，?DAB?A．1
B．3
?3，BM?MC，则AC?DM?（ ）
C．3
D．33 8．已知直线l与平面?所成角为45°，l在?内的射影为m，直线n??，且n与m所成角为45°，则l与n所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．已知函数f?x??sin??x?是（ ） A．?，?
63?????3?在上的值域为，则实数?的取值范围?cos?x??0，30，????????6??2??11???
B．?，?
62?11???
C．?，?
32?11???
D．?，1?
?1??2?10．地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生
后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ） A．51秒
xB．56秒 C．61秒 D．80秒
11．已知函数f?x??esinx，f'?x?是f?x?的导函数，有下述四个结论
①f?x?是奇函数
②f?x?在??10?，10??内有21个极值点
④f?x??ax在区间?0，?上恒成立的充要条件是a?1
4③f'?x?在区间?0，?上为增函数
????4??????其中所有正确结论的编号是（ ） A．①③
B．①④
C．①③④
D．②③④
x2y212．已知双曲线?:2?2??1?a?0，b?0?的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线?的左、右两支
ab，B两点，延长BF交右支于C点，若AF?FB，CF?3FB，则双曲线?的离心率是分别交于A（ ） A．
17 3 B．
3 2 C．
5 3 D．
10 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知z?C，i是虚数单位，
z?1?2i，则z? ▲ ． 1?i14．某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单
位：百万元）之间有如下对应数据：
x 0 15 1 30 2 35 3 40 4 50 y 由表中的数据得线性回归方程为y?8x?a．投入的广告费x?6时，销售额的预报值为 ▲ 百万元．
15．一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小
值为 ▲ ．
16．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于D点．AD?2，a?3，
csinAcosC??2b?c?cosAsinC，则A? ▲ ，ABC的面积为 ▲ ．
（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
，a3，成等差数列． 等比数列?an?中，a1?2且2，a2?1（1）求?an?的通项公式；
b（2）数列?bn?满足a1，a2，a3，…an?2，求数列??1??的前n项和． b?n?18．（12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，BC?角三角形，O为AD中点． （1）求证：BC?OP；
（2）求二面角A?PB?C的余弦值．
2AB，PBC是等边三角形，PAD是直
19．（12分）
已知抛物线y?2px?p?0?，过点?10，?的直线l与抛物线交于A，B两点，OA?OB??3．
2（1）求抛物线的方程；
（2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点C在y轴上时，求ABC的面积． 20．（12分）
习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产
量X（单位：吨）的分布列如下：
X P 10 0.5 12 0.5 紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元／吨）的分布列如下：
Y P 0.5 0.8 0.6 0.2 （1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量
不低于34吨的概率；
（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），
求Z的分布列和数学期望．
21．（12分）
函数f?x??x?logax?a?0，且a?1?． （1）当a?3时，求方程f?x??1的根的个数； （2）若f?x??e恒成立，求a的取值范围． a注：e?2.71828… 为自然对数的底数
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
1?m?x???1?m在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（m为参数）．以坐标原点O为极点，x轴
?y?2m?1?m?的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?． （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）过点P??1过O作与l1平行的直线l2交C1于Q点，，0?作倾斜角为?的直线l交C2于A，B两点，
若PA?PB?4OQ，求?．
23．［选修4-5：不等式选讲］（10分）
已知函数f?x??2x?a?x?a．
（1）当a?1时，求不等式f?x??5的解集；
（2）若x??01，，?f?x??x?3a恒成立，求实数a的取值范围．
厦门市2019-2020学年度第一学期高三年级质量检测
理科数学 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出选项中，只有一项符合要求．
题号 答案 12．解：
1 D 2 B 3 A 4 D 5 A 6 C 7 C 8 C 9 A 10 C 11 C 12 D
记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'． ∵AF?FB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF'是矩形，∴?F'BF?设FB?x，则CF?3x，BF'?2a?x，CF'?2a?3x．
在RtCBF'中，BF'?BC?CF'，即?2a?x??16x2??2a?3x?可得x?a， 从而BF'?2a?x?3a，FB?a，在RtBFF∴10a2?4c2，∴e?即?3a??a2??2c?， '中，BF'?FB?FF'，
22222?2．
2222210，故选D． 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3?i
14．66
15．6?42
16．（1）
33?（2） 2316．（2）解答：
由正弦定理可知：
cba3????23，∴c?23sinC，b?23sinB，sinCsinBsinA32BDAD11，同理CD?， ??BD?sin?BADsinBsinBsinCBC?BD?CD?11??3?sinB?sinC?3sinB?sinC， sinBsinC????????3????sinB?sin?B???3sinB?sin?B??，化简可得：3sin2?B???sin?B????0，
3?3?6?6?4????∴sin?B???????13?或（舍）， sinB???????6?6?223?∴B??2，C??6，或C??2，B??6，∴SABC?33． 2三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生
都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．本题主要考查等差数列、等比数列和数列求和，考查运算求解能力，考查化归转化思想、函数方程思
想渗透数学运算的核心素养．
解：（1）设数列?an?的公比为q?q?0?．
，a3成等差数列，所以2?a2?1??2?a3，即2?a1q?1??2?a1q2， 因为2，a2?1所以q?2q?0，解得q?2或q?0（舍去）， 所以数列?an?的通项公式an?2nn?N*．
n?1?n?2??（2）因为a1?a2?a3……an?2?2?2……2?2所以bn?123n2?2bn，
n?n?1?121??1，从而??2???， 2bnn?n?1??nn?1?所以Sn?2??1?????1??11??11?1???1?????…?????????? 2??23??34??nn?1??1?2n??2?1?． ??n?1n?1??18．本题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质，二面角的定义以及二面角的求法，考查空间想象能
力推理论证能力、运算求解能力． 解：法一（1）
取BC的中点M，连接OM，PM， 在等边三角形PBC中，BC?PM；
在矩形ABCD中，OM∥AB，则OM?BC． ∵PMOM?M，∴BC?平面POM．
∵OP?平面POM，∴BC?OP． （2）
设AB?2，则BC?2，PM?3，
∵PO?AD且点O为AD的中点，（三线合一） ∴PAD为等腰直角三角形且PO?1． ∵PO2?OM2?PM2，∴PO?OM． ∴OA、OM、OP两两垂直
以O为原点，OA为x轴，OM为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系，
0，，1?A?1，0，0?，B1，2，0，C?1，2，0， 则P?0，AB?0，2，0，BP??1，?2，，1BC???2，0，0?．
??AB?n?0，??2y1?0，设平面PAB的一个法向量为的n??x1，y1，z1?，由?得?
??PA?n?0，???x1?2y1?z1?0，令x1?1得n??1，01，?．
（注：也可证明PD为平面PAB的一个法向量）
??????????BP?m?0，???x?2y2?z2?0，设平面PBC的一个法向量为m??x2，y2，z2?，由?得?2
???2x2?0，?PC?m?0，?令y2?1得m?0，1，2．
??cos?n，m?212?12?12???22?3． 33． 3由图知，二面角A?PB?C为钝角，则二面角A?PB?C的余弦值为?法二：（1）同法一 （2）
设AB?2，则AD?BC?2，
∵PO?AD且点O为AD的中点，（三线合一） ∴PAD为等腰直角三角形，∴PA?∴PAB为等腰三角形，
取PB的中点N，连接AN，∵AN?PB，∴AN?2，
AP2?PN2?1．
3．
在等边三角形PBC中，连接CN，则CN?PB，CN?则?ANC为二面角A?PB?C的平面角．
AN2?NC2?AC21?3?63连接AC，在ANC中，由余弦定理，cos?ANC?． ???2AN?NC32?1?3则二面角A?PB?C的余弦值为?3． 319．本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，考查运算求解能力考查
数形结合思想，转化与化归思想． 解：（1）
依題意，设直线l方程为x?my?1，A?x1，y1?，B?x2，y2?． 联立y?2px，得：y?2pmy?2p?0．
2y12y2??1， 由韦达定理：y1?y2?2pm，y1y2??2p，又x1x2?2p2p22OA?OB?x1x2?y1y2?1?y1y2?1?2p??3，
所以p?2．故抛物线方程为y?4x．
（2）设线段AB中点为M?xM，yM?，C?0，yC?由（1）知yM?2m，xM?2m2?1． 法一：AB?x1?x2?p?2xM?2?4m?4，
22CM?1???m?xM?xC?1?m2?2m2?1?．
2依题意：AB?2CM，即4m?1?21?m整理得m?所以S2?2?2?2m2?1?．
3． 2ABC?1112AB?CM?AB?23?4244??2?7?43．
3法二：直线CM方程为：y?2m??mx?2m2?1，即y??mx?2m?3m．
3令x?0，则yC?2m?3m．
??依题意CA?CB?x1x2??y1?yC??y2?yC??x1x2?y1y2?yC?y1?y2??yC?0．
2642代入，整理得4m?4m?3m?3?0，
即4m4?3m2?1?0．所以m?2????23． 2又AB?x1?x2?p?2xM?2?4m?4，
SABC1112?AB?CM?AB?23?4244??2?7?43．
法三：因为直线l与x垂直时，不满足题意．
故可设直线l:y?k?x?1??k?0?，A?x1y2?，B?x2y2?． 线段AB中点为M?xM，yM?，C?0，yC?． 联立y?4x得：k2x2?2k2?4x?k2?0，
2??2k2?4由韦达定理：x1?x2?，x1x2?1．
k2?k2?22?4，?， 故y1?y2?，y1y2??4，所以M?2k?k?k线段AB的垂直平分线为y?21?2??32????x?1?2?，可得C?0，?3?． kk?k??kk?2依题意CA?CB?x1x2??y1?yC??y2?yC??x1x2?y1y2?yC?y1?y2??yC?0． 2整理得：kyC?4yC?3k?0，
代入yC?2332． ?3，整理得?3k4?4??k2?1??0．解得k2?3kk又AB?x1?x2?p?所以S4?4． k2ABC21112?AB?CM?AB=23?4=7+43． 244??20．本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算
求解能力、数学建模能力与应用意识：考查转化与化归、概率与统计思想：本题满分12分． 解法一：
解：（1）设事件A表示一个大棚亩产量为12吨，事件A发生的次数为?，因为每个大棚产量相互独立，所以?~B?3，0．5?
这三个大棚总产量不低于34吨的概率
23P?P???2??P???3??C3?0．52??1?0.5??C3?0．53?0.5
（2）设事件B表示亩产量为10吨，事件C表示市场价格为0.5万元／吨，则P?B??0．5，P?C??08．， 每亩利润Z的所有可能取值为：
10?0．5?15．?35．，10?0．6?15．?12?0．5?15．?4．5，12?0．6?15．?5．7，
P?Z?35．5?08．?0．4， ??P?B?P?C??0．P?Z?4．5??P?B?PC?PBP?C??0．5?0．2?0．5?0．8?0．5，
????P?Z?5．7??P?B?P?C??0．5?0．2?01．，
所以Z的分布列为
Z P 3.5 0.4 4.5 0.5 5.7 0.1 利润Z的数学期望E?Z??3.5?0.4?4.5?0.5?5.7?0.1?4.22（万元）．
21．本题主要考查函数的零点、导数在研究函数性质中的应用等基础知识：考查推理论证、运算求解能力：
考查转化与化归、函数与方程、数形结合思想：本题满分12分．
解：（1）当a?3时，构造函数g?x??x?log3x?1，求导得：g'?x??1?当x??0，当x??1?xln3x?1ln3， x??1?1??0，时，，在g'x?0gx???????上单调递减；
ln3??ln3??1??1?，???时，g'?x??0，g?x?在?，+??上单调递增； ?ln3??ln3?∵g?1??0． 又∵g???∴?x0???1??3?1?1??0，g???g?1??0， 3ln3???11?1， ，?，使g?x0??0，即g?x?存在两个零点x0，?ln33?∴方程f?x??1存在两个根．
（2）法一：f'?x??1?1?xlnax?1lna， xi）当0?a?1时，f?a??a?1?0，不合题意，舍去； ii）当a?1时，由f'?x??0可得x?1，列表： lna1 lna0 x 1??0，?? lna??- ?1?，??? ??lna?+ f'?x? f?x? 据表可得，f?x?min?f? 极小值 1111e?1???lnlna，依题意有 ?lnlna??????lnalnaa?lna?lnalnaett令t?lna?0，则上式等价于?1?lnt??e，等价于1?lnt?t?1，
te11?tet?1?t?t2构造函数??t??1?lnt?t?1，?'?t???t?1?，
etetet?1t记函数u?t??et?1?t，u'?t??et?1?1，易证得u?t?在?01，???上单调递增， ?上单调递减，在?1，et?1?t?t2?0，∴??t?在?0，∴u?t??u?1??0，∴?'?t?????上单调递增，注意到??1??0，
tet?1∴??t??0???t????1??t?1?a?e． 综上所述，a?e． （2）法二：由f?x??由f'?x??0可得x?ee对于x?0恒成立，f?1??1??a?e； aa1，列表： lnax 1??0，?? ?lna?- 1 lna0 ?1?，??? ??lna?+ f'?x? f?x? ∴f?x?min?f? 极小值 1111e?1???lnlna，依题意有?lnlna??????*? ?lnalnalnalnalnaa??当a?e时，构造函数??x??所以??x??lnx1?lnx?x?e?，?'?x??2?0恒成立， xxlnx11e在x??e?， ，???上单调递减，??a????e??，即xelnaa而由a?e可知
1ln?lna??0， lna∴
11e?ln?lna??恒成立，∴a?e符合题意． lnalnaaee对于x?0恒成立，f?1??1??a?e； aa（2）法三：由f?x??由f'?x??0可得x?1，列表： lnax 1??0，?? ?lna?- 1 lna0 ?1?，??? ??lna?+ f'?x? f?x? ∴f?x?min?f? 极小值 1111e?1?，依题意有??lnlna?lnlna??????*?； ?lnalnaa?lna?lnalna换元，令t?lna，则式等价于（*）e'?1?lnt??e，等价于e'?1?lnt??et?0?t?1?． t??1?t?设函数u?t??e'?1?lnt??et?t?1?，u'?t??e'?1?lnt???e?0恒成立， 所以u?t?在?1，???上单调递增，∴u?t??u?1??0，∴（*）式对a≥e均成立． （2）法四：由f?x??ee对于x?0恒成立，f?1??1??a?e； aa1?x?1?，由图象 lna∵y?logax在点?10，?处的切线为y?
可知
1?x?1??logax， lna又由a?e可知0?1lnx?1，构造函数??x???x?e?， lnax?'?x??1?lnxlnx恒成立，所以在x??e?0?x?，???上单调递减； ??x2x1e1e?， lnaae1e1在直线y??x?1?的上方，即有x???x?1?， alnaalna??a????e??即
所以在y轴的右侧，直线y?x?∴x?e1??x?1??logax， alna综上所述，∴x?ee?logax?x?logax?． aa22．本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、
函数与方程思想。满分10分
1?m?x??1?m2m1?m?2m?1?m（1）法一：①：∵?（m为参数），∴x?y????1，
2m1?m1?m1?m?y??1?m?1?m??1?m??22???1???1， 又∵x?1?m1?m1?m∴曲线C1的普通方程为x?y?1?0?x??1?；
②∵??2sin?，∴??2?sin?，又∵x??cos?，y??sin?， ∴x?y?2y，即x2??y?1??1，
2222∴曲线C2的直角方程为x2??y?1??1； （2）
2
?x??1?tcos??x?tcos?由题意，设l1:?（t为参数），l2:?（t为参数），
y?tsin?y?tsin???依题意，???0，?，
????2?l1与C2联立得t2?2?sin??cos??t?1?0，
l2与C1联立得t?sin??cos???1，
设点A，B，Q对应的参数分别为tA，tB，tQ，则
?1?tA?tB?2?sin??cos??，tQ?， ?sin??cos?t?t?1??AB由PA?PB?4OQ且tA，tB，tQ?0，得2?sin??cos???4?21．
sin??cos???∴?sin??cos???2，即1?sin2??2，故sin2??1，又∵???0，?，∴????2??4．
23．本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力；
考查化归与转化，分类与整合思想．满分10分
，x?1?3x?1??1?x?1， 解：（1）当a?1时，f?x??2x?1?x?1??x?3，??1?3x，x??1?当x??1时，?1?3x?5，解得x??2；
?2?综上，原不等式的解集为???，?4????． ?，?3?（2）∵f?x??2x?a?x?a?x?3a恒成立， ∵2x?a?x?a??2x?2a???x?a??x?3a
由绝对值不等式等号成立条件可知：?2x?2a???x?a??0在?01，?上恒成立． ∵x2?a2?0，∴x2?a2，∴a2?1，∴a?1或a??1． ∴a的取值范围为???，?1????． ?1，
福建省厦门市2019-2020学年度第一学期高三年级期末质量检测数学理科试题
