【典例分析】
例1 如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
例2如图，已知抛物线边
在轴正半轴上，且
，边
与轴分别交于原点和点，
，与对称轴交于点.矩形的
与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，
位于对称轴的同侧时，连接，
，此时五边形
.
，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接
平移的起点，设矩形
的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形
平移的长度为
（1）求出这条抛物线的表达式； （2）当（3）当矩形
时，求
的值；
的函数表达式，并求出为何值时，有最大
沿着轴的正方向平移时，求关于
值，最大值是多少？
1
例3如图，抛物线W:y?ax2?bx?7的顶点为?3,2?． （1）求抛物线W的函数表达式．
（2）若抛物线形W?与W关于x轴对称，求抛物线W?的函数表达式．
（3）在（2）的基础上，设W上的点M、N始终与W?上的点M?、N?分别关于x轴对称，是否存在点M、N（M、N分别位于抛物线对称轴两侧，且M在N的左侧），使四边形MM?N?N为正方形？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
例4如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，且A点的坐标为（0,1），正方形的边长为 (1) 直接写出D、C两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的关系式； （3）若正方形以每秒
个单位长度的速度匀速沿射线
下滑，直至顶点
.
落在轴上时停 止．设正方
形落在轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点物线弧所扫过的面积．
落在轴上时，求抛物线上
两点间的抛
例5如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
2
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积； (3)若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．
[来源:]
【变式训练】
1．如图，为坐标原点，边长为针旋转
的正方形
的顶点在轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点顺时
，使点落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；一抛物线y=ax2+bx+c过点M（﹣1，0）且顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是（ ）
A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a≤﹣ C．﹣1≤a≤﹣ D．﹣1≤a≤﹣ 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象过面积为点A、B、C，则a的值为 ．
3
1的正方形ABOC的三个顶2
中考数学压轴专练专题09 二次函数与矩形正方形存在型问题(学生版)
