§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P86~ P87，找出疑惑之处） 复习1：化简：
rrrr⑴ 5（3a?2b）+4（2b?3a）；
rrrrrr⑵ 6a?3b?c??a?b?c.
????
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
rrrrr在平面上有两个向量a,b， 若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
rrrrrr定理：对空间任意两个向量a,b（b?0）， a//b的充要条件是存在唯一实数?，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
uuurrruuurrr试试：已知AB?a?5b,BC??2a?8b, uuurrr CD?3a?b ，求证: A,B,C三点共线.
??
1
rrrr反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b?0，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
uuuruuuruuur例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OP?xOA?yOB，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
uuur1uuuruuur变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP?OA?tOB，那么t＝
2
例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且
rrruuuuuuurruuuuuuuruuuruuurrrruuurr'''CB?b,CC?cCA,CA,CM,CGa,b,cCG:GA=2:1,设CD=a，，试用向量表示向量.
变式1：已知长方体ABCD?A'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：
uuuruuur'⑴ AA?CB ;
uuuuruuuuruuuur'''⑵ AB?BC?C'D'
urr1uuur1uu1uuu'⑶ AD?AB?AA
222
变式2：如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q,R,S,使得： uuuruuuruuuruuur⑴OP?OA?2AB?2AC uuuruuuruuuruuur⑵OQ?OA?3AB?2AC uuuruuuruuuruuur⑶OR?OA?3AB?2AC
uuuruuuruuuruuur⑷OS?OA?2AB?3AC.
2
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
rrrrrrA. 向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；
rrrrD. 若向量a与b共线，则a??b.
rrrrrrrrrr2. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8n，a?0，若a//b，求实数x.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）
rrrrrrA.a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等
3
rrrrD. 若向量a与b共线，则a??b
2. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面A'B'C'D'的中心，若uuuruuuruuuruuur'BB?xAD?yAB?zAA',
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
uuuruuuruuur3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP? OA + OB. uuurruuuruuur1uuu4. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则(AB?AD?AA')? AO
3uuurruuurruuur'r5. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，M是AC与BD交点，若AB?a,AD?b,AA?c，则与uBuu'Mur相等的向量是（ ）
A. ?1r1rr1r2a?2b?c； B. 2a?1r2b?rc；
C. 1r2a?1r2b?rc； D. ?1r1rr2a?2b?c.
课后作业：
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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算（一）学案 新人教版选修21
