第九章 多元函数微分法及其应用
引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.
由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n元函数上去.
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集的相关概念
1. 平面点集：E?{(x,y)|}(x,y)具有性质P}
E?R2?R?R?{(x,y)|}x?R,y?R}
例如：C?{(x,y)|}x2?y2?r2}?{P||OP|?r}，其中点P表示点(x,y).
22. 邻域：P0(x0,y0)?R.
222(1). 邻域：U(P0,?)?{P|P0P|??}?{(x,y)(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)??}
o?o(2). 去心邻域：U(P0,?)?{P0?|P0P|??}?U(P0) 3. 坐标面上的点P与平面点集E的关系：P?R2,E?R2 (1). 内点：若???0，使U(P,?)?E，则称P为E的内点. (2). 外点：若???0，使U(P,?)?E??，则称P为E的外点.
(3). 边界点：若???0，U(P,?)?E??，且U(P,?)?E，则称P为E的边界点.
边界：E的边界点的全体称为它的边界，记作?E. (4). 聚点：若???0，U(P,?)?E??，则称P为E的聚点.
导集：E的聚点的全体称为它的导集.
注：1°. 若P为E的聚点，则P可以属于E，也可以不属于E.
2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：E1?{(x,y)1?x2?y2?2}；E2?{(x,y)1?x2?y2?2}?{(0,0)}. 4. 一些常用的平面点集：
(1). 开集：若点集E的点都是其内点，则称E为开集.
(2). 闭集：若点集E的边界?E?E，则称E为闭集. (开集加边界)
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o(3). 连通集：若E中任何两点都可用属于E的折线连接，则称E为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.
例如：E1?{(x,y)1?x2?y2?2}为区域. E2?{(x,y)1?x2?y2?2}为闭区域. (6). 有界集：若?r?0，使E?U(O,r)，则称E为有界集. (7). 无界集：若?r?0，使E?U(O,r)，则称E为无界集.
二、n维空间：对取定的自然数n，称n元数组(x1,x2,?,xn)的全体为n维空间，记为Rn. 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间. 三、多元函数的概念 1. 定义：
z?f(x,y)???.，或z?f(P)，其中P(x,y)?D.
因 映 自 变 变 量 射 量
定义域：D.
值 域：f(D)?{zz?f(x,y),(x,y)?D}?R.
注：可推广：n元函数：u?f(x1,x2,?,xn)，(x1,x2,?,xn)?D?Rn. 例: 1. z?arcsin(x2?y2)，D?{(x,y)x2?y2?1}.
2. z?ln(x?y)，D?{(x,y)x?y?0}.
2. 几何表示：函数z?f(x,y)对应空间直角坐标系中的一张曲面:F(x,y,z)?z?f(x,y)?0. 四、二元函数的极限
1.定义：设函数f(x,y)的定义域为D，点P若?A?R，???0，???0，0(x0,y0)为D的聚点，
?P(x,y)?D?U(P0,?)，满足|f(x,y)?A|??，则称A为f(x,y)当P(x,y)?P0(x0,y0)时的极
o限，记作
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A，称之为f(x,y)的二重极限.
例1. 设f(x,y)?(x2?y2)sin证明：???0，要使不等式
1，求证limf(x,y)?0.
(x,y)?(0,0)x2?y2 2
(x2?y2)sin成立，只须取???，
1122?0?(x?y)sin?x2?y2?? 2222x?yx?y 于是，???0，????，?P(x,y)?D?U(0,?)，总有(x2?y2)sinlimf(x,y)?0.
o1?0??，即
x2?y2(x,y)?(0,0)例2. 证明
(x,y)?(0,0)lim?xy22?x2?y2,x?y?0f(x,y)不存在，其中f(x,y)??.
?0,x2?y2?0?证明：当P(x,y)沿直线y?kx(k?0)趋于O(0,0)时，总有
limkx2kf(x,y)?lim2?，
x?0x?k2x21?k2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)y?kxf(x,y)随着k的不同而趋于不同的值，故极限limf(x,y)不存在.
例3. 求极限解：
limsinxy.
(x,y)?(0,2)xlimsinxysinxysinxy?lim?y?lim?limy?1?2?2.
(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy?0xxyxyy?2五、二元函数的连续性
1. 二元函数的连续性:设函数f(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)为D的聚点，且P0?D，若
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，则称z?f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.
2. 二元函数的间断点: 设函数f(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)为D的聚点，若f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为f(x,y)的间断点. 注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质：设D为有界闭区域.
(1). 有界性：?M?0， ?(x,y)?D，有|f(x,y)|?M.
?f(P1)?max{f(P)|P?D}(2). 最值性：?P，使得,P?D,?P?D，有f(P?121)?f(P)?f(P2).
?f(P2)?min{f(P)|P?D(3). 介值性：?C?[f(P1),f(P2)]，?P(x,y)?D，使得f(x,y)?C. 4. 二元连续函数的运算性质
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高等数学第六版(同济版)第九章复习资料
