整数分拆之最值与应用
一、拆分的基础知识
整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法
1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大 应将数列拆分成：a?2?3?4?…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：
⑴当多0时，将a拆成a?2?3?4?…? (n-1) ?n；
⑵当多1时，将a拆成a?3?4?5?…? (n-1) ?( n-1)；
⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？
2?3?4?5?6?7?8?35 比30大5，故将5去掉
30被拆成2?3?4?6?7?8
【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？
【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？
【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
1
【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。
【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。
【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有 种不同的做法，
其中面积最大的是哪一种长方形？
【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和
25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？
【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何
拆分？这个最大的乘积是多少？
【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。
【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？
【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
〖答案〗
2
【例1】将15进行拆分，并计算乘积
15?1?14 1?14?14
15?2?13 2?13?26
15?3?12 3?12?36
15?4?11 4?11?44 15?5?10 5?10?50 15?6?9 6?9?54 15?7?8 7?8?56
15拆分成7和8的和，乘积最大，是56
【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时 有1?10，2?9，3?8，4?7，5?6五种方法
它们的乘积分别是：1?10?10，2?9?18，3?8?24，4?7?28，5?6?30 显然，把11拆分成5?6时
有最大的积5?6?30
【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式
若想乘积最大
14?7?7，7?7?49
因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7?7?49)最大
【例2】⑴由例1的说明对于两个数可知，假设n?a?b (a≥b)且a?b＞1时，乘积a?b不是最大的。
换句话说，若n?a?b (a≥b)，当a、b两数相等或差为1时，乘积a?b取最大值。 ⑵那么对于三个数呢？
假设n?a?b?c (a≥b≥c)且a?c＞1时，乘积a?b?c不是最大的。
若n?a?b?c (a≥b≥c)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a?b?c取
最大值。
因为14?3?4?2，
由分析可知：当a?b?5且c?4时 乘积a?b?c?5?5?4?100为最大值
【巩固】利用上面的结论可知，若n?a?b?c (a≥b≥c)
当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a?b?c取最大值 由分析可知：当a?b?6且c?7时 乘积a?b?c?6?6?7?252为最大值
【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大 必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1
因为1999÷8?249…7，1999?8?249?7 由上述分析，拆法应是1个249，7个250
7
其乘积249?250为最大
【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大
必须使这6个数中的任意两数相等或差数为1 因为1553?6?258?5
由上述分析，拆法应是1个258，5个259
5
其乘积258?259为最大
3
【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大
【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米
【例5】根据上面的讨论结果，我们应该把14拆分成四个3与一个2之和
即14?3?3?3?3?2
这五数的积有最大值3?3?3?3?2?162
【巩固】⑴∵2001?667?3
∴2001拆分成(667个3的和)时，其积最大
⑵∵1994?664?3?2
∴1994拆分成(664个3的和) ?2时，其积最大 ⑶∵1993?664?3?1
∴1993拆分成3?3??3?2?2时，其积最大
663个3【例6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能
是1，
所以应将72拆分成从2开始的若干个连续自然数。
因为：2?3?4?…?11?65＜72
2?3?4?…?12?77＞72 77?72?5，所以从加数中去掉5
即：48?2?3?4?6?7?8?9?10?11?12 最多可以拆成10项
【巩固】 2?3?…?21?23?24?…?63
4
小学奥数数论讲义 4-整数分拆之最值与应用强化篇
