2.1. 试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，
X (X1, X2,L Xp) 的联合分布密
的子向量的概率分布，其概率密度 度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X (X1, X2,L X p)
函数的维数小于 p 。
2.2 设二维随机向量 ( X 1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
12
解：设 ( X1 X 2) 的均值向量为 2 ，协方差矩阵为 12
2 ，则其联合分布密
21 2
度函数为
1/2
1(x 2
12 12 1 (x ) 。 ) exp 2 2
f (x) 2
2 2 21 21
2.3 已知随机向量 (X1 X 2 ) 的联合密度函数为 2[(d c)(x1 a) (b a)( x2 c) c)] 2(x1 a)( x2 f (x1, x2) 22
μμ
(b a)2 (d c)2
其中 a x1 b ， c x2 d 。求
1) 随机变量 X1 和 X2 的边缘密度函数、均值和方差； 2) 随机变量 X1 和 X2 的协方差和相关系数； 3) 判断 X1 和 X2 是否相互独立。
1)解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
d
f x1 ( x1)
2[(d c)( x1 c a) (b a)( x2 c) 2(x1 a)( x2 c)]
(b a)2 (d c)2
22
dx
2(d c)( x1 a)x2
(b a)2 (d c)2 2(d c)( x1 a)x2
d
d
2[(b a)( x2 c) 2( x1 a)( x2 c)]
(b a)2 (d c)2
dx2
d
(b a) (d c)2 c 2(d c)( x1 a)x2
2222
(b a) (d c)
2
22
d c
02[(b a)t 2 2(x1 2a)t]dt 022
(b a)(d c)
[(b a)t 2 2(x1 a)t2] 22 22
(b a) (d c)
b a
22
dc
1
0
ba
所以
由于 X1 服从均匀分布，则均值为
，方差为
2 12
同理，由于
X 2服从均匀分布 fx (x2)
d 0
x1
c, d
，则均值为 d c ，方差 其它 2
dc 为
12
2)解：随机变量
X1 和 X2 的协方差和相关系数；
cov( x1, x2 )
db c a
x1
x2
d c 2[( d c)( x1
a) (b a)( x2 c) 2(x1 a)( x2 c)]
(b a)2 (d c)2
dxdx
12
(c d )(b a)
36 cov( x1, x2) x1 x2
3) 解：判断 X1 和 X2 是否相互独立。
X1 和X2由于 f (x1,x2) fx(x1) fx(x2)，所以不独立。
1
2
2.4 设 X (X1,X2,L Xp) 服从正态分布， 已知其协方差矩阵 为对角阵， 证明其分量是相互独立的随 机变量。
解： 因为 X (X1,X2,L Xp) 的密度函数为
p
f (x1,..., xp)
1 1/2
Σ exp
2
11
(x μ) Σ (x μ)
2
2
1
2 2
又由于
Σ
O
2
pp
Σ 12 22L
2
1
1
Σ1
则 f ( x1 ,..., xp )
22L
1/2
exp
1
2(x
μ) Σ 1
(x μ)
1 (xp 2 1 (x1 2 1 (x2
pexp 1 2
2p)i1 (xi 2
f ( x1)... f (xp ) 则其分量是相互独立。 i 1 i 2 exp
2i
2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；
2.7 设总体服从正态分布， X ~ Np(, ) ，有样本 X 1, X2 ,..., X n 。由于 X是相互独立的正态分布随
机向量之和，所以 X 也服从正态分布。又
3)
21)
2
2p)
μΣ
E(X)
D(X) 方法 2.8
n
Xi n
i1
i1
E Xi
i1
X i n
1
n2
Xi
所以 X ~ N p (
μ, Σ) 。
n1 E( Σ?)
1
(Xi X)(Xi X)
Xi Xi nXX
n1
1
n
1
E(
XiXi
nXX )
1 n1
n
E XiX i nE XX i1
1 n1
n i1
(n n1
1n1
1)Σ Σ。
应用多元统计分析课后答案
