1. 根据二重积分的几何意义求下列定积分： （1）
解（1）根据二重积分的几何意义，
??DR2?x2?y2d?,其中D?(x,y)x2?y2?R2;
????DR2?x2?y2d?，
D?(x,y)x2?y2?R2表示球心在坐标原点，半径为R的上半球的体
积，所以 习题8-2
1. 在直角坐标系下，将二重积分
????D2R2?x2?y2d???R3．
3??f(x,y)d?化为两种不同次序的二次
D积分，其中积分区域分别为： （1）D由y?x2与y?1围成的闭区域；
（2）D由y?sinx与y?0(0?x??)围成的闭区域； 解（1）（2）
?1?1dx?2f(x,y)dy，?dy?x011y?yf(x,y)dx；
??0dx?sinx0f(x,y)dy，?dy?01??arcsinyarcsinyf(x,y)dx；
2. 计算下列二重积分： （1）（2）（3）
??eDx?ydxdy, 其中D是由x?0,x?2,y?0, y?1所围成的矩形；
??xyd?,其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区域；
D22(x?y)d?,其中D是由直线y?x,y?2x及x?1所围成的闭??D区域； （4）域；
解（1） 因为D是矩形区域,且ex?y?ex?ey,所以
??xyd?,其中D是由抛物线yD2?x及直线y?x?2所围成的闭区
??eDx?y21x???dxdy???edx???eydy?? ?0??0?2232?(ex0)(ey10)?(e?1)(e?1)?e?e?e?1
（2）
??xyd?,其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭 区域.
D2x解一 如图，将积分区域视为X—型,
??xyd?????D11xydydx???21?y2?x?x??1dx ?2?y2y?x??21?x3x??x4x2?21?dx???1. ????122848????y1解二 将积分区域视为Y—型,
o2??Dxyd?????21212y2?x?xydxdy???y??2ydy 1?2??1x2x??（3）
??2y4?y3??2y??dy??y??2?8???212x211?1. 8??(xD22?y)d???dx?(x2?y2)dy
0xy3??(xy?)0312xx4x31dx???dx??.
0331（4）D既是X—型，也是Y—型.但易见选择前者计算较麻烦，需
将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.
??xyd???D2?1??y?2y2?x2xydxdy????1?22??y??y?2y2dy
y2?125(y(y?2)?y)dy 2??12yo2?1y2?xD4y?x?21?y443y6?2???y?2y??2?436?5?5. 8x?1
但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.
3. 改变积分次序： 2（1）?1dy?y00f(x,y)dx；
（3）
?elnx1dx?0f(x,y)dy；
解（1）题设二次积分的积分限:??0?y?1?0?x?y2
可改写为???0?x?1??x?y?1，
即
?1y2110dy?0f(x,y)dx??0dx?xf(x,y)dy.
（3）题设二次积分的积分限:??1?x?e?0?y?lnx
可改写为??0?y?1?ey?x?e；
即
?edx?lnx10f(x,y)dy??1dy?e0eyf(x,y)dx
总复习题8
1. 填空题：
（1）设D:a?x?b,0?y?1，且
??yf(x)dxdy?1D?baf(x)dx? . （2）积分
(x?y)2dxdy? x???. y?1（3）设D:x??,y?1.则
??(x?siny)d?等于 . D,则
微积分(第8章)作业答案(1)
