高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词练
习含解析新人教A版选修
A级 基础巩固
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1
D．存在一个负数x，使＞2
2
x解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数
2
x，都有＜0，所以D是假命题．
x答案：B
2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A．对任意的a，b∈R，都有a＋b－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．?x∈R，x＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：A中的命题是全称命题，但是a＋b－2a－2b＋2＝(a－1)＋(b－1)≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.
答案：D
3．命题“?x∈R，x≠x”的否定是( ) A．?x?R，x≠x C．?x0?R，x0≠x0
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1
B．?x∈R，x＝x D．? x0∈R，x0＝x0
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解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，x≠x”的否定是“?x0∈R，
x2． 0＝x0”
答案：D
4．下列命题中是假命题的是( )
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A．?x0∈R，lg x0＝0 C．? x∈R，x>0
3
B．?x0∈R，tan x0＝1 D．?x∈R，2>0
xπ
解析：对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对
4于C，当x<0时，x<0，错误；对于D，? x∈R，2>0，正确．
答案：C 5．若???3?
2x－2ax?1?3
x＜33x＋a恒成立，则实数a的取值范围是( )
3B．a＞ 43D．a＜ 4
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A．0＜a＜1 3
C．0＜a＜
4
解析：由题意，得－x＋2ax＜3x＋a，即x＋(3－2a)x＋a＞0恒成立，所以Δ＝(3－322
2a)－4a＜0，解得a＞.
4
答案：B 二、填空题
6．已知命题p：? x>2，x－8>0，那么? p是________． 解析：命题p为全称命题，其否定为特称命题， 则? p：?x>2，x－8≤0. 答案：?x>2，x－8≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④ 8．下面四个命题：
①?x∈R，x－3x＋2＞0恒成立；②?x0∈Q，x0＝2；③?x0∈R，x0＋1＝0；④?x∈R，4x＞2x－1＋3x.
其中真命题的个数为________．
解析：x－3x＋2＞0，Δ＝(－3)－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x－3x＋2＞0才
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成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±2时，x＝2，所以不存在x∈Q，使得x＝2，所以②为假命题．对?x∈R，x＋1≠0，所以③为假命题.4x－(2x－1＋3x)＝x－2x＋1＝(x－1)≥0，即当x＝1时，4x＝2x－1＋3x成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．
答案：0 三、解答题
9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定． (1)有一个实数a，使不等式x－(a＋1)x＋a＞0恒成立； (2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立； (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
解：(1)方程x－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)－4a＝(a－1)≥0， 则不存在实数a，使不等式x－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题． 它的否定：对任意实数a，不等式x－(a＋1)x＋a＞0不恒成立． (2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题． 它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立． (3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题． 它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
10．对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：令y＝sin x＋cos x，
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?π?则y＝sin x＋cos x＝2sin?x＋?∈[－2，2]．
4??
因为?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立， 所以只要m<－2即可，
所以所求m的取值范围是(－∞，－2)．
B级 能力提升
1．已知命题p：? b∈[0，＋∞]，f(x)＝x＋bx＋c在[0，＋∞]上为增函数，命题q：?x0∈Z，使log2x0>0，则下列命题为真命题的是( )
A．(?p)∨(?q) C．p∧(?q)
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B．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)
2
bb?b?解析：f(x)＝x＋bx＋c＝?x＋?＋c－，对称轴为x＝－≤0，
42?2?
所以f(x)在[0，＋∞]上为增函数，命题p为真命题，? p为假命题， 令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，
? q为假命题，p∨(?q)为真命题．故选D.
答案：D
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2．已知命题“?x0∈R，2x0＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是
2________．
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解析：由题意可得“对?x∈R，2x＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)
2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1，3)
3．若不等式(m＋1)x－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－6<0，不恒成立． ②当m＋1≠0时，则?
?m＋1<0，???Δ<0，
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?
??m<－1，
?? 2
?Δ＝（m－1）－4（m＋1）·3（m－1）<0，?
m<－1，??13
解得m<－. ?13
11m<－或m>1，?11?
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高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词练习含解析新人教A版选修
