课时提升作业(四十一)
一、选择题
1.在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时，第一步应验证( ) (A)n＝1 时成立 (C)n＝3 时成立
(B)n＝2 时成立 (D)n＝4 时成立
2.已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，假设已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真，那么还需证明( ) (A)n＝k＋1 时命题成立
(B)n＝k＋2 时命题成立 (C)n＝2k＋2 时命题成立 (D)n＝2(k＋2)时命题成立
3.某个命题与正整数n有关，假设n＝k(k∈N+)时命题成立，那么可推适当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么能够推得( ) (A)n＝6时该命题不成立 (B)n＝6时该命题成立 (C)n＝4时该命题不成立 (D)n＝4时该命题成立 4.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋?＋( ) (A)7
12141127?(n∈N+)成立，其初始值至少应取2n?164
(D)10
(B)8 (C)9
5.(2021·宝鸡模拟)用数学归纳法证明：1?到k+1左侧需增添的项是( ) (A)
112n????时，由k1?21?2?3???nn?12
k?k?1?1 (B)
1
k?k?1?(D)
(C)
?k?1??k?2?
2?k?1??k?2?n?12
6.用数学归纳法证明C?C???C＜n(A)1
(B)2
(C)3
1n2nnn(n≥n0,n0∈N)，那么n的最小值等于
( )
(D)4
*
7.(2021·南昌模拟)关于不等式n2?n (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，不等式成立，即k2?k ?k?1???k?1??2k2?3k?2?k2?3k?2??k?2???k?2?2??k?1??1, 因此当n=k+1时，不等式也成立. 关于上述证法( ) (A)进程全数正确 (B)n=1时验证不正确 (C)归纳假设不正确 (D)从n=k到n=k+1的推理不正确 n 8.(能力挑战题)已知f(n)=(2n+7)·3+9，存在自然数m，使得对任意n∈N+，f(n)都能被m整除，那么m的最大值为( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空题 9．(2021·洛阳模拟)用数学归纳法证明1?111????n＜n(n∈N+,n＞1)时，第一步232?1应验证的不等式是___________. n 10.(2021·上海模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2·1·3·…·(2n-1)，从k到k+1，左侧需要增乘的代数式为______. 11.假设数列{an}的通项公式an＝ 1?n?1?2，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算 c1，c2，c3的值，推测cn＝_______. 12．已知f(n)=1?111n????(n∈N+)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)-f(2k)等23n2于________. 三、解答题 13.(2021·佛山模拟) 用数学归纳法证明： n?n?1?1222n2?????(n?N?). 1?33?5?2n?1??2n?1?2?2n?1?14.(2021·合肥模拟)设f(x)= 2x,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+). x?2(1)求x2,x3,x4的值. (2)归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明. 15.(能力挑战题)设f(n)=1+ 11+…+.是不是存在关于正整数n的函数g(n)，使等式2nf(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]关于n≥2的一切正整数都成立？证明你的结论. 答案解析 1.【解析】选C.凸多边形至少有三边，因此应验证n＝3 时成立. 2.【解析】选B.因n 是正偶数，故只需证命题对所有正偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，应选B. 3.【解析】选C.由n＝k(k∈N+)成立，可推适当n＝k＋1时该命题也成立．因此假设n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，因此n＝4必然不成立.[来源:] 4.【思路点拨】用等比数列的前n项和求出不等式的左侧，解不等式即可取得初始值. 11?n1112?127，整理得2n>128，解得n>7，因此初【解析】选B.1＋＋＋?＋n?1＝1242641?2始值至少应取8. 5. 【 解 析 】 选 D. 左 侧 需 添 加 的 式 子 为 112??. 1?2?3????k?1??k?1??k?2??k?1??k?2?216.【解析】选C.当n=1时，左侧=C11=1，右边=1=1，不等式不成立；当n=2时，左侧 32=C?C1222 =3，右边=2?22，不等式不成立，当n=3时，左侧=7，右边=9，不等式 52成立，当n=4时，左侧=15，右边=4＞16,不等式成立，因此n的最小值等于3. 7.【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理时没有运用归纳假设，因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值，由此猜想m的最大值，再用数学归纳法证明结论成立. 【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n=1时，可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，猜想成立，即f(k)=(2k+7) · 3k+9 能 被 36 整 除 ； 当 n=k+1 时 ， f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2，因此f(k+1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.
第六章第七节
