中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）s或12cm2． 【解析】
8524s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 5试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时． 试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=
824，x2=；
558524sP、Q两点之间的距离是10cm； 5∴经过s或
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤∴
16时，则PB=16-3y， 311PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12， 22解得y=4；
②当
1622＜x≤时，
33BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
11BP?CQ=（3y-16）×2y=12， 22解得y1=6，y2=-③
2（舍去）； 322＜x≤8时， 3QP=CQ-PQ=22-y，则
11QP?CB=（22-y）×6=12， 22解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用．
2．解方程：x2－2x＝2x＋1. 【答案】x1＝2－5 ，x2＝2＋5. 【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
?b?b2?4ac求根公式x?求解即可.
2a试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝4?20＝2±5 ， 2∴x1＝2－5 ，x2＝2＋5.
3．已知：关于的方程
（1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是【答案】（I）∴
由求根公式，得
． ∴
（II）而
，∴
，∴
，
或．
． ，
（其中
），且
，求的值．
有两个不相等实数根
．
kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
由题意，有∴解之，得经检验【解析】
即
（﹡）
是方程（﹡）的根，但
，∴
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过
（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费
元.下图反映
了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次
函数．
【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
5．关于x的方程kx??k?2?x?2k?0有两个不相等的实数根． 4?1?求实数k的取值范围；
?2?是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）k??1且k?0；（2）不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
?1?由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V?0，由此可以得到关于k的不等
式，解不等式即可求出k的取值范围.
?2?首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在
?1?中的取值范围内.
【详解】
解：?1?依题意得V?(k?2)?4k?2k?0， 4?k??1， 又Qk?0，
?k的取值范围是k??1且k?0；
?2?解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
理由是：设方程kx??k?2?x?2k?0的两根分别为x1，x2， 4k?2?x?x????12k由根与系数的关系有：?，
1?x1x2??4?又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
??k?21?， k24?k??，
3由?1?知，k??1，且k?0，
4?k??不符合题意，
3因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
6．解方程：(x＋1)(x－1)＝22x. 【答案】x1＝2＋3，x2＝2－3. 【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x＋1)(x－1)＝22x x2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22，c=-1 ∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
2?b?b?4ac=∴x=2±3
2a∴x1＝2＋3，x2＝2－3.
7．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】(1)m＜3；(2)m＝2． 【解析】 【分析】
（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根． ∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0． ∴m＜3；
（2）∵m＜3 且 m为正整数， ∴m＝1或2．
当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．
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