第 十 一 章 反 常 积 分
§1 反常积分概念
一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .
例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?
设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为
2
F = mg R
. x2
于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为
∫ r R
当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 . 我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:
图 11 - 1
+ ∞
mg R d x = mg R2 1 1 - 2 R rx
2
.
∫
R
mg Rx
2
2
r
d x = lim
r → + ∞ R
∫
mgRx
2
2
d x = mg R .
最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使
1 2
mv0 = mg R . 2
2 6
用 g = 9 .81 ( m6s/) , R = 6 .371× 10( m) 代入 , 便得
v0 =
2 g R ≈ 11 .2( km6s/) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图
11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?
§1 反常积分概念
265
图 11 - 2
从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为 v = 其中 g 为重力加速度 . d x , 它们之间应满足
πR2 d x = vπr2 d t ,
由此则有
2 g( h - x) ,
设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为
d t =
R 2
d x , x ∈ [0 , h] . r
2 g( h - x )
2
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:tf =
∫ r
0 u 0
h
R2
2 g( h - x)R 2
2
2
d x .
但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是
tf = lim
-
u → h
∫ r
2 d x
2 g( h - x)
h -
h - u
= lim -
u → h
2
R g ·r2 2
=
2 h R g r .
相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .
二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]
上可积 .如果存在极限
lim
u→ + ∞ a
f ( x) d x = J, ∫
u + ∞ a
( 1)
则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作
J =
+ ∞ a
∫ f ( x) d x ,
+ ∞ a
( 1′)
并称
敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x ∫ f ( x) d x 收 ∫类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :
发散 .
266
b 第十一章 反 常 积 分
∫ f ( x )d x = lim∫f ( x) d x .
- ∞
u → - ∞ u
b ( 2)
对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :
∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x , ∫ f ( x ) d x =
- ∞
- ∞
a
+ ∞
a
+ ∞
( 3)
其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .
注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .
注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .
注 3
的 几 何 意 义 是 : 若 f 在∫ f ( x ) d x 收 敛
a + ∞
[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线
y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .
例 3 讨论无穷积分
的收敛性 .
解 由于
图 11 - 3
∫ ∫ x
1 u 1
+ ∞
d x x
p
( 4)
d x p
1 1 - p - 1 ) , = 1 ( u- p ln u ,
u
p ≠ 1 ,p = 1 ,
, p > 1
p - 1
u → + ∞ 1 x
+ ∞ p ≤ 1 ,
1 因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 ; 而当 p≤1 时发散于 + ∞ .
p - 1
lim
p
∫ d x 1 =
从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p
1 的值越大 , 曲线 y = 当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从
而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .
x
p
例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :
+ ∞+ ∞
d x d x 1) ; 2).
2 x( ln x) p - ∞ 1 + x2
∫
∫
解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限
来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和
图 11 - 4
§1 反常积分概念
267
分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有+ ∞
∫
d x
2
x ( ln x )
p
=
∫
+ ∞
d tt
p
ln 2
.
从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p≤1 时发散 .
2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :+ ∞
d x d x a
∫
- ∞ a
由于
1 + x
2
和
∫
a
1 + x
2
.
lim
d x ∫
v
u → - ∞ u
1 + x d x 2
= lim ( arctan a - arctan u )π
= arctan a + ,
2
u → - ∞
lim
∫ v → + ∞ a
1 + x
=
2
= lim ( arctan v - arctan a)
v → + ∞
π
- arctan a ,
2
因此这两个无穷积分都收敛 .由定义a 1 ,+ ∞
∫
d x 1 + x
- ∞ 2
=
∫
d x
2
+ ∞
- ∞
1 + x
+
∫
d x 2
a
1 + x
= π .
注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .
定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在 任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限
lim
u → a
+
∫f ( x ) d x = J ,
u
b
( 5)
则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作
J =
f ( x) d x , ∫
a b
( 5′)
并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分
a
∫
b
f ( x ) d x 发散 . ∫
a
b
在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .
a
∫
b
类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :
f ( x )d x . ∫f ( x) d x = lim∫
a
u → b
-
b u
a
其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] ì [ a , b)
数学分析华东师大 反常积分
