第34讲 基本不等式
考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情分析 2017·江苏卷，10 2017·山东卷，12 2017·天津卷，13 分值：5分
1．基本不等式ab≤
命题趋势 对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查. a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：！！！！__a>0，b>0__####. (2)等号成立的条件：当且仅当！！！！__a＝b__####时取等号． 2．几个重要不等式
(1)a＋b≥！！！！__2ab__####(a，b∈R)． (2)＋≥！！！！__2__####(a，b同号)． (3)ab≤?(4)
2
2
baab?a＋b?2(a，b∈R)．
??2?
≥?
a2＋b2?a＋b?2
2
?(a，b∈R)． ?2?
以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为！！！！__a＋b2__####，几何平均数为！！！！__ab__####，基本不等式可叙述为！！！！__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__####.
4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当！！！！__x＝y__####时，x＋y有最！！！！__小__####值，是！！！！__2p__####(简记：积定和最小)；
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当！！！！__x＝y__####时，xy有最！！！！__大__####值，是！！！！____####(简记：和定积最大)．
4
1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)． 1
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( × )
p2
x4?π?(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈?0，?的最小值等于4.( × )
2?cos x?(3)“x＞0，y＞0”是“＋≥2”的充要条件．( × ) 13
(4)若a＞0，则a＋2的最小值为2a.( × )
xyyxa解析 (1)错误．因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2. (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x<0，y<0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．
2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( A ) A．18
B．36
C．81
D．243
解析 ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．
a2＋4
3．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( A )
aA．(－∞，－4]∪[4，＋∞) C．[4，＋∞)
B．(－∞，－4] D．[－4,4]
a2＋44
解析 M＝＝a＋.
aa当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.
4．若x＞1，则x＋解析 x＋成立．
4
的最小值为！！！！__5__####. x－1
444＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号x－1x－1x－1
25
5．若x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为！！！！__2__####.
xy解析 由已知条件lg x＋lg y＝1，可知xy＝10. 25则＋≥2xy10?25?＝2，故?＋?min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，
xy?xy?
y＝5时等号成立．
一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式的方法
(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．
?yz??xz??xy?【例1】 (1)已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：?＋??＋?·?＋?≥8.
?xx??yy??zz?
abcyy111
(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.
yz2yzxz2xzxy2xy证明 (1)∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞
xxxyzzz0，
?yz??xz??xy?8yz·xz·xy＝8， ∴?＋??＋??＋?≥xyz?xx??yy??zz?
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋
abcabc＝3＋＋＋＋＋＋
bcacabaabbcc
全国通用版2019版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第34讲基本不等式优选学案
