第八节 第二课时 最值、范围、证明问题
课时作业 A组——基础对点练
y2x2
1．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
ab(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP2
的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
?b＝1，解析：(1)由题意，得?
?b2
2从而???
a＝2，
??·a＝1.
??
b＝1.
因此，所求的椭圆Cy2
2
1的方程为4
＋x＝1.
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2
＋h)， 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t. 直线MN的方程为：
y＝2tx－t2＋h.
将上式代入椭圆C1的方程中，得 4x2
＋(2tx－t2
＋h)2
－4＝0，
即4(1＋t2
)x2
－4t(t2
－h)x＋(t2
－h)2
－4＝0.① 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点， 所以①式中的
Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则xx1＋x2tt2－h3＝2＝21＋t2
. 设线段PA的中点的横坐标是xt＋1
4，则x4＝2
.
由题意，得x3＝x4， 即t2
＋(1＋h)t＋1＝0.③ 由③式中的
Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1，或h≤－3.
当h≤－3时，h＋2<0,4－h2
<0， 则不等式②不成立，所以h≥1. 当h＝1时，代入方程③得t＝－1，
1
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h的最小值为1.
x2y23
2．已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直
ab2
23
线AF的斜率为，O为坐标原点．
3(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 223
解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.
c3又＝
ca3222
，所以a＝2，b＝a－c＝1. 2
故E的方程为＋y＝1.
4(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx－2代入＋y＝1得
4(1＋4k)x－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k－3)>0， 38k±24k－3即k>时，x1,2＝. 2
44k＋1
2
2
2
2
2
x2
2
x2
2
4k＋1·4k－3从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝. 2
4k＋1
2
22
又点O到直线PQ的距离d＝
2
k2＋1
，
2
144k－3
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝. 2
24k＋1设4k－3＝t，则t>0，
2
S△OPQ＝
4t4
＝. t＋44
t＋
2
t47
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
t2所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝
77
x－2或y＝－x－2. 22
3.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是
2
|AP||DQ|xyAD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)
|AD||DC|ab上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．
解析：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，
22
y1x1＋2
2＝
4
，
2yy1
＝，＝， x＋2x1＋22－x4
2
y4yx＋2x2
从而有＝，整理得＋y＝1，即为椭圆E的方程．
2－xy412
(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝4－x0，
211
从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝
24令t＝2＋x0，则2 3 4 4－x0 2 2＋x0 2 ， 1344t－t， 4 3 2 令u＝4t－t，则u′＝12t－4t＝4t(3－t)， 当t∈(2,3)时，u′>0，u＝4t－t单调递增， 当t∈(3,4)时，u′<0，u＝4t－t单调递减， 33 所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为. 4 3 4 3 4 2 y2x26 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一 ab3 个焦点的距离的最小值为3－2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围． 解析：(1)设椭圆的半焦距长为c， 6?c?＝， 则由题设有：?a3 ??a－c＝3－2， 2 解得：a＝3，c＝2，∴b＝1， 故椭圆C的方程为＋x＝1. 3 (2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点． 3 y2 2
统编版2020届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题课时作业
