高考数学函数与方程思想练习题
函数与方程的思想就是用函数、方程的观点和方法来处理问题，从而可利用函数的性质、图象或解方程来获得问题的解的一种思维策略。
函数与方程的思想是中学数学中最重要的数学思想之一，许多问题一旦转化为函数或方程来研究，思考的方向就会非常明确，从而有效解决。
1．已知3x2?2y2?6x，则??x2?y2?1的最大值是( )
75 (B) 3 (C) (D) 4 2232．方程x?3x?a?0有三个相异实根,则实数a的取值范围是( )
(A)
(A) a?0 (B) a?0 (C) ?2?a?2 (D) a?2
3.若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)?g(x)?ex，则有（ ） (A) f(2)?f(3)?g(0) (B) g(0)?f(3)?f(2) (C) f(2)?g(0)?f(3) (D) g(0)?f(2)?f(3)
5b?c?1，（a、b、c?R），则有（ ） 5a(A)b2?4ac (B)b2?4ac (C)b2?4ac (D)b2?4ac 5．若关于x的方程sin2x?acosx?2a?0有实数解，则实数a的取值范围是_____________ 6．已知f(t)?log2t，t?[2,8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式
4．已知
x2?mx?4?2m?4x恒成立，则x的取值范围为_________________
7．关于x的不等式2?32x?3x?a2?a?3?0，当0?x?1时恒成立,则实数a的取值范围为____
2?满足方程a,a8.设a?1，若有且仅有一个常数c使得对于任意的x??a,2a?，都有y????logax?logay?c，这时a的取值的集合为 9.已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a2?3，a5S3?81 （1）求数列{an}的通项公式； （2）求不等式(1?
10.已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?b?c)图象上有两点A(m1,f(m1)),B(m2,f(m2))满足
111)(1?)?(1?)?a2n?1对一切n?N*均成立最大实数a a1a2anf(1)?0且a2?(f(m1)?f(m2))?a?f(m1)?f(m2)?0。
（1）求证b?0；
（2）能否保证f(m1?3)和f(m2?3)中至少有一个为正数？请证明你的结论。
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基础大题自测（九）
AA1．已知在?ABC中,a?3,向量m?(sin，cosA)，n?(3，2cos)，m//n
22 (1) 求角A的大小； (2) 求b?c的取值范围
2．甲乙两个人进行射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知
1、p1512是方程x?5x?6?0的根，若两人各射击5次，甲中靶次数的方差是。
4p2（1）求 p1、p2的值；
（2）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ （3）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
3．如图所示，等腰?ABC的底边AB?66，高CD?3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF?AB。现沿EF将?BEF折起到?PEF的位置，使
PE?AE。记BE?x，V?x?表示四棱锥P?ACEF的体积。
（1）求V?x?的表达式；
（2）当x为何值时，V?x?取得最大值？
（3）当V?x?取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 A
函数与方程思想参考答案
1.B 2.C
3.D 因为f(x)?g(x)?e，用?x替换x得： f(?x)?g(?x)?e,
因为函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，
所以f(x)?g(x)??e，又f(x)?g(x)?e
?xxx?xPDFEBCex?e?xe?x?ex,g(x)??解得：f(x)?，而f(x)单调递增且f?0??0， 22∴f?3??f?2??0大于等于0，而g(0)??1，故选D。
4.B 法一：依题设有a?5?b?5?c?0
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∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根； ∴??b2?4ac?0 ∴b2?4ac 故选(B) 法二：去分母，移项，两边平方得：
5b2?25a2?10ac?c2?1ac?2?5a?c?20ac ∴b2?4ac 故选(B) 点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。 5．{a|0?a?4?23}
sin2xsin2xsin2x原方程可化为a? ∵a?是函数f(x)?的函数值.
2?cosx2?cosx2?cosxsin2x∴问题等价于求函数f(x)?的值域. 记t?cosx
2?cosx1?t2∴问题又化为求函数y?（t?[?1,1]）的值域.
2?t1?t23??(2?t)??4 记m?2?t ∵y?2?t2?t3∴y??m??4（m?[1,3]）
m∴0?y?4?23 即a的取值范围为0?a?4?23 6．{x|x?2或x??1}
12原题转化为：m(x?2)?(x?2)2?0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
解析 ∵t?[2,8]，∴f(t)?[,3] 当x?2时，不等式不成立。
∴x?2，令g(m)?m(x?2)?(x?2)2，m?[,3]
12?11?g()?0问题转化为g(m)?m(x?2)?(x?2)在m?[,3]上恒大于0，则：?2；
2??g(3)?02解得：x?2或x??1
评析 首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。 7．{a|a??1或a?2}
分析:不等式恒成立问题,如果能分离系数,就可以转化为函数的最值来处理. 解: 设t?3x,0?x?1，则t?[1,3]
原不等式可化为a2?a?3??2t2?t,t?[1,3]
原问题等价于a2?a?3大于函数f(t)??2t2?t,t?[1,3]的最大值
∴a2?a?3??1,得a??1或a?2 即实数a的取值范围为{a|a??1或a?2}. 8. {2}
ac解：由已知logax?logay?c，得y?（其中x?[a,2a]），函数为反比例函数，
xac?1c?1ac在?a,2a?（a?1）上为单调递减，所以当x?[a,2a]时，y?[,a]y?2x
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?ac?1?a?c?2?loga22?，所以?a,a又因为对于任意的x??a,2a?，都有y??， ??2????ac?1?a2?c?3?因为有且只有一个常数c符合题意，所以2?loga2?3，解得a?2， 所以a的取值的集合为{2}。
?a1?d?39．解:(1)设{an}的公差为d，由题意d?0，且?
(a?4d)(3a?3d)?811?1?a1?1，d?2，数列{an}的通项公式为an?2n?1
(2)由题意a?记F(n)?则
12n?1(1?111)(1?)?(1?)对n?N*均成立， a1a2an12n?1(1?111)(1?)?(1?)， a1a2anF(n?1)2n?22(n?1)2(n?1)????1。
2F(n)2(n?1)(2n?1)(2n?3)4(n?1)?1∵F(n)?0
∴F(n?1)?F(n) 即F(n)随n增大而增大，
23 32323∴a?，即a的最大值为。
3310.简析：把握方程根的意义，构建二次方程的判别式和函数的单调性和不等式结论求解。 （1）由a2?(f(m1)?f(m2))?a?f(m1)?f(m2)?0知，f(m1)??a或f(m2)??a
∴F(n)的最小值为F(1)?即m1，m2是方程ax2?bx?c??a的两根。 所以 ??b2?4a(a?c)?0,即b2?4a(a?c) 因为 f(1)?a?b?c?0且a?b?c, 所以 a?0,c?0
所以b2?4ab?0，即b(b?4a)?0 即b(3a?c)?0 因为3a?c?0, 所以b?0
⑵ 设f(x)?ax2?bx?c的两根x1,x2.由f(1)?0，可知其中一根为1，另一根为由a?0, c?0,知
c ac?1 a因为a?b?c且b??a?c,
c??2???a??a?c?2a??c?c1a所以? 即? 即? 即?2???
a2??a?c?c??a?2c??1?c??2a3所以3?1?c?3 即?|x1?x2|?3
22ac设f(x)?a(x?x1)(x?x2)?a(x?1)(x?)
a由(1)知f(m1)??a或f(m2)??a
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若f(m1)??a，则a(m1?1)(m1?)??a?0 故
cac?m1?1 ac?3?1,又f(x)在(1,??)上为增函数，所以f(m1?3)?f(1)?0 a同理，当f(m2)??a时，有f(m1?3)?0.故f(m1?3)和f(m2?3)中至少有一个为正数 m1?3?基础大题自测（九）参考答案 AA1．解：(1)由m//n得2sincos?3cosA?0 即sinA?3cosA?0
22∴tanA?3
由于A是?ABC的内角,故可得A?(2)由A?B?C??及A?由正弦定理得
?3
?3可得B?C?2?2?，即C??B 33bca3????2 sinBsinCsinAsin?3所以b?2sinB,c?2sinC
2?所以b?c?2(sinB?sinC)?2sinB?2sin(?B)
3?2sinB?3cosB?sinB?3sinB?3cosB?23sin(B?)
62???5?1? 由0?B?知?B?? 故?sin(B?)?1
366626? 所以3?23sin(B?)?23 6 即b?c的取值范围为(3,23] 2．解：?1? 由题意可知 ?甲 ~ B(5, p1)，
5112
∴D?甲 = 5p1 ?1－p1? = ? p1－p1 + = 0 ? p1 = ．
442
111
又 · = 6，∴ p2 = ． p1p23
?2? 设事件A, B分别表示甲、乙能击中． ∵ A, B互相独立
1
∴ P??A·?B ? = P??A ? P??B ? = ?1－P?A? ??1－P?B? ? = ?1－p1??1－p2? = ×
221 = 33
2
∴ 1－P??A·?B ? = 为所求概率．
3
?3? 两种情况： 击中3次概率 111211112112
C 2 ? ? 2 ? ? 0×C 2 ? ? 1 ? ? 1 + C 2 ? ? 1 ? ? 1×C 2 ? ? 2 ? ? 0 =
22332233
1
； 6
击中4次概率 1112122
C 2 ? ? 2 ? ? 0×C 2 ? ? 2 ? ? 0 = ．
223336
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高考数学函数与方程思想练习题及答案
