2024年
【2024最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其
前n项和增分练
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等
于( )
A．1 B. C．2 D．3
答案 C
解析 由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.2．[2024·宁德模拟]等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是
( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
答案 C
解析 因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－
a10＝a8＝24.故选C.
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
答案 A
解析 S8＝＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以d＝a7－
a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.
4．[2024·北京海淀期末]在等差数列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，则此数
列的前13项之和为( )
A．39 B．52 C．78 D．104
答案 A
解析 设数列的公差为d，则由a1＋a7＋a8＋a12＝12可得4a1＋24d＝12，即a1
＋6d＝3，即a7＝3，故前13项之和为＝13a7＝39.故选A.
5．[2024·郑州预测]已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝
10，且＝，则a2＝( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.故选A.
6．已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且＝，那么等于( )
A. B. C. D.3
答案 A
解析 因为该数列是等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差数列，又因为＝，所以S10＝3S5，所以S10－S5＝2S5，所以S15－S10＝3S5，所以S15
＝6S5，同理可求S20＝10S5，所以＝.故选A.
7．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的
直线斜率为( )
A．4 B. C．－4 D．－4
答案 A
解析 由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，
(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4.故选A.
8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}
的前n项和最大．
答案 8
解析 ∵{an}为等差数列，∴a7＋a9＝2a8，
∴a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0，又a7＋a10＝a8＋a9<0.
∴a9<0，
∴{an}为递减数列．
又∵ S9＝S8＋a9
9．[2024·金版创新题]已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10
＝________. 答案
7
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解析 设等差数列的公差为d，
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则＝，＝. ∵是等差数列，
∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝， 故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.
10．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的
比为32∶27，则该数列的公差d＝________.
答案 5
解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列
的公差为
??S偶＝192，
d.由已知条件，得解得?
?S奇＝162.?
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
[B级 知能提升]
1．[2024·唐山统考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋
a7＋a8＝( )
A．18 B．12 C．9 D．6
答案 D
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以
a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6.故选D.
2．[2024·洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，
a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12 D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为
12.故选C.
3．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，
则n等于________．
答案 10
解析 ∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，
∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.
∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，
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解得n＝10.
4．[2024·云南模拟]设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)证明：∵Tn＋2an＝2，∴当n＝1时，T1＋2a1＝2，
∴T1＝，即＝.
又当n≥2时，Tn＝2－2×， 得Tn·Tn－1＝2Tn－1－2Tn，
∴－＝，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)知，数列为等差数列， ∴＝＋(n－1)＝，∴an＝＝， ∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋－＝－＝.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
解 (1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4.
Sn＝2an－2n＋1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得 an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n， 所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.
因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an，即(n＋1)(2n－3)<(5－λ)·2n(n
＋1)等价于5－λ>.
记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，则＝，即b3>b2，所以当n≥3时，
<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.
2024高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和增分练
