§1．1集合
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. （一）集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于?”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a?A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为?1,-2
2
*
?,而不是?1,1,-2
?
⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于?”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a?A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则
一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“?3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，x+y}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
⑹含有较多元素的集合，列举法表示时，把元素间的规律显示清楚后用省略号，正整数N=?1,2,3,4,5,......?
*
2
3
2
2
?”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后
写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：?x?Ap(x)?
2
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}是不同的两个集合，只
要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式
２、元素具有怎么的属性当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {, , , -9}; 2. {x?R∣0 2 2 2 由此可以得到 ?有限集:含有有限个元素的集合集合的分类??无限集:含有无限个元素的集合?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)? 三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： A 集合间的基本关系 比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）A?{1,2,3}，B?{1,2,3,4,5}； （2）C?{北京一中高一一班全体女生}，D?{北京一中高一一班全体学生}； （3）E?{x|x是两条边相等的三角形}，F?{xx是等腰三角形} 观察可得： ⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称 集合A是集合B的子集（subset）。 记作：A?B(或B?A) 读作：A包含于B，或B包含A 当集合A不包含于集合B时，记作A?B(或B?A) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若A?B且B?A，则A?B。 如：A={x|x=2m+1，m?Z}，B={x|x=2n-1，n?Z}，此时有A=B。 ⒊真子集定义：若集合A?B，但存在元素x?B,且x?A，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：? 5.几个重要的结论： ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有??A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集； ⑷对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C。 说明： ⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。 ⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2个，其真子集数为2-1个， n n 3,9,2 表示任意一个集合A 表示{3，9，27} B A 表示：A?B 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 集合间的基本运算 考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系： （1）A?{1,3,5}，B?{2,4,6},C??1,2,3,4,5,6?； （2）A?{xx是有理数}，B?{xx是无理数},C??xx是实数?； 1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分， 记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 Venn图表示： 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系 A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A A∪B＝A? , A∪B＝B? . 巩固练习（口答）： ①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ; ②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。 2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set）， 记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} Venn图表示： 常见的五种交集的情况： B A A(B) A B A B A B （阴影部分即为A与B的交集） 【题型一】 并集与交集的运算 【例1】设A={x|-1 【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。 -2 3 -1 1 2 3 【例3】已知集合A＝｛y|y=x-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B 集合的基本运算㈡ 思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系 集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质： ⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：CUA，读作：A在U中的补集，即CUA?xx?U,且x?A Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 说明：补集的概念必须要有全集的限制 讨论：集合A与CUA之间有什么关系→借助Venn图分析 A?CUA??, 函数的概念 ¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. ¤知识要点： 1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x?A．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）. 2. 设a、b是两个实数，且a {x|a≤x 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {x|x?a}?(a,??)，{x|x?a}?[a,??)，{x|x?b}?(??,b)，{x|x?b}?(??,b]，R?(??,??). 2 2 UACUA??A?CUA?U,CU(CUA)?A CUU??, CU??U
第1章 高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
