第4课时 难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略
隐零点问题 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程将无法继续进行．但可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
[典例] 设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． [解题观摩] (1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)
(2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0， x＋1
即k
e－1
x＋1ex－1－?x＋1?exex?ex－x－2?
令g(x)＝x＋x(x>0)，得g′(x)＝＋1＝(x>0)．
e－1?ex－1?2?ex－1?2由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数．
又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)． 当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0， α＋1
所以g(x)min＝g(α)＝α＋α.
e－1又eα＝α＋2且α∈(1,2)， 则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)， 所以k的最大值为2. [题后悟通]
本题的关键就是利用h(x)＝ex－x－2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．
[针对训练] 1．已知函数f(x)＝
1－ln x
. x2
(1)求函数f(x)的零点及单调区间；
(2)求证：曲线y＝
ln x
存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0<－1. x
3?解：(1)函数f(x)的零点为e.函数f(x)的单调递增区间为?e2，＋∞??，单调递减区间为3??
?0，e2?.(解答过程略)
1－ln xln x
(2)证明：要证明曲线y＝x存在斜率为6的切线，即证明y′＝＝6有解，等
x2
价于1－ln x－6x2＝0在x>0上有解．
1
构造辅助函数g(x)＝1－ln x－6x2(x>0)，g′(x)＝－x－12x<0，函数g(x)在(0，＋∞)上1?1?3?单调递减，且g(1)＝－5<0，g?＝1＋ln 2－>0，所以?x∈0?2??2，1?，使得g(x0)＝0.即证明2ln x
曲线y＝x存在斜率为6的切线．
1?ln x01－6x210
设切点坐标为(x0，f(x0))，则f(x0)＝＝＝－6x0，x0∈??2，1?. x0x0x01?1
令h(x)＝x－6x，x∈??2，1?.
1?1
，1上单调递减，则h(x) 极值点偏移问题 在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解． 1．极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示. 极值点x0 x0＝x1＋x2 2f(x1)＝f(2x0－x2) 极值点偏移 左移 f(x1)< f(2x0x1＋x2峰口向上：x0< 2－x2) 函数值的大小关系 图示 极值点不偏移 峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2) 峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2) 右移 x1＋x2x0> 2峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2) 2.函数极值点偏移问题的题型及解法 极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式： (1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0 为函数f(x)的极值点)； (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝ x1＋x2 ，求证：f′(x0)>0； 2 x1＋x2 ，求证：2 (4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝f′(x0)>0. [典例] 已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1x2>e2. [解题观摩] 法一：(抓极值点构造函数) 由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知ln x1，ln x2是方程x＝aex的两根． 设t1＝ln x1，t2＝ln x2，g(x)＝xex，则g(t1)＝g(t2)， 从而x1x2>e2?ln x1＋ln x2>2?t1＋t2>2. 下证：t1＋t2>2. g′(x)＝(1－x)ex，易得g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1 所以函数g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝. e 当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)>0. 由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨设t1 － －
第三章 第二节 第4课时 难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略
