知能提升作业（二十四）
第19章 全等三角形19.4逆命题与逆定理 19.4.4线段的垂直平分线
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2011·绍兴中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于
1AB的长为半径画弧,两弧相交于点2M,N,作直线MN,交BC于点D,连结AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )
(A)7
(B)14
(C)17
(D)20
2.如图,锐角三角形ABC中,BC＞AB＞AC,小靖依下列方法作图: (1)作∠A的角平分线交BC于D点. (2)作AD的中垂线交AC于E点. (3)连结DE.
根据他画的图形,判断下列关系中何者正确( ) (A)DE⊥AC (C)CD=DE
(B)DE∥AB
(D)CD=BD
3.给出以下两个定理:
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 应用上述定理进行如下推理:如图,直线l是线段MN的垂直平分线. ∵点A在直线l上, ∴AM=AN, ∵BM=BN,
∴点B在直线l上, ∵CM≠CN,
( )
( )
∴点C不在直线l上.
这是因为如果点C在直线l上,那么CM=CN，( ) 这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括号内应注明的理由依次是( ) (A)②①①
(B)②①②
(C)①②②
(D)①②①
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2012·黄冈中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连结BE,则∠EBC的度数为___________°.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,作AB的垂直平分线,交AB于D,交AC于E,连结BE.已知∠CBE=40°,则∠A=________度.
6.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为__________. 三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB，BC于点D，E,AE平分∠BAC,若∠B=30°,求∠C的度数.
8.(8分)如图,点D，E在△ABC的边BC上,BD=CE,AB=AC,求证:AD=AE.
【拓展延伸】
9.(10分)如图,在△ABC和△ACD中,CB=CD,设点E是CB的中点,点F是CD的中点. (1)请你在图中作出点E和点F(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)； (2)连结AE，AF,若∠ACB=∠ACD,请问△ACE≌△ACF吗?并说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.由题意知,MN是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.∵△ADC的周长为10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.∵AB=7,
∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=10+7=17.故选C. 2.【解析】选B.依据题意画出图:
可得知∠1=∠2,AE=DE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,即DE∥AB.故选B.
3.【解析】选D.根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；第三个空,应用了垂直平分线的性质,填①.所以应填①②①. 4.【解析】由AB=AC,∠A=36°,得∠ABC=∠C=72°.由DE垂直平分AB得EA=EB, ∴∠EBA=∠A=36°,
∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=72°-36°=36°. 答案：36
5.【解析】∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠A=∠ABE.∵∠C+∠A+∠CBE+∠ABE=180°, ∵∠C=90°,∠CBE=40°, ∴∠A+∠ABE=50°,∴∠A=25°. 答案：25
6.【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BE=CE. ∵△EDC的周长为24,∴ED+DC+EC=24① ∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12, ∴(AB+AC+BC)-(AE+ED+DC+AC)=12, ∴BE+BD-DE=12②
∵BE=CE,BD=DC,∴①-②得,DE=6. 答案：6
7.【解析】∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB.所以∠1=∠B=30°.又∵AE平分∠BAC,∴∠2=∠1=30°.∴∠C=180°-∠B-∠BAC=90°. 8.【证明】过点A作AF⊥BC于点F,
∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF.
∵BD=CE,∴BF-BD=CF-CE,即DF=EF， ∴AF是DE的垂直平分线,∴AD=AE. 9.【解析】(1)如图所示:
(2)∵CB=CD,点E，F分别是CB，CD的中点, ∴CE=CF.
又∵∠ACB=∠ACD,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF.
八年级数学下册知能提升作业二十四第19章全等三角形19.4逆命题与逆定理19.4.4线段的垂直平分线华
