2024中考数学总复习动点问题
年 班 姓名 成绩: 1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°. (1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
解:(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以ED?CD?tan?C?5?315254?4,EC?4.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是
△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3. 由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN. 因此△PDM∽△QDN.
所以
PMQN?DMDN?43.所以QN?34PM,PM?43QN.
图2 图3 图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1. 此时QN?34PM?34.所以CQ?CN?QN?4?3194?4. ②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时QN?34PM?1515314.所以CQ?CN?QN?4?4?4. (3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,tan?QPD?QDDNPD?DM?34. 在Rt△ABC中,tan?C?BACA?34.所以∠QPD=∠C. 由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ. 因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时PM?43QN?43.所以BP?BM?PM?3?43?53. ②如图6,当QC=QD时,由cosC?CHCQ,可得CQ?54252?5?8. 所以QN=CN-CQ=4?2578?8(如图2所示). 此时PM?43QN?76.所以BP?BM?PM?3?7256?6. ③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5 图6
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
解:(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3), 代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小. 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由
BHBO?PHCO,BO=CO,得PH=BH=2. 所以点P的坐标为(1, 2). 图2
(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,?6)或(1,0).
3.如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. (1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
解:(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,OC?23. 所以点B的坐标为(?2,?23).
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B(?2,?23),?23??2a?(?6).解得a??36. 所以抛物线的解析式为y??36x(x?4)??32236x?3x.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得y??23. 当P在(2,23)时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以42?(y?23)2?16.解得y1?y2??23. ③当PB=PO时,PB2=PO2.所以42?(y?23)2?22?y2.解得y??23. 综合①、②、③,点P的坐标为(2,?23),如图2所示.
图2 图3
4.如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y?43x 的图象交于点A,且与x轴交于点B. (1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒. ①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
图1
?解:(1)解方程组?y??x?7,??4 得??x?3, 所以点?y?3x,?y?4.A的坐标是(3,4). 令y??x?7?0,得x?7.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8,得
12(3+7?t)?4?12?4?(4?t)?12?t(7?t)?8.整理,得t2?8t?12?0.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4. 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,AB?42,所以OB>AB.因此∠OAB>
∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴. 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况. 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1. 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中, cos?A?35为定值,AP?7?t,AQ?OA?OQ?OA?55203OR?3t?3. 如图5,当AP=AQ时,解方程7?t?520413t?3,得t?8.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)],
得t?5.
1如7,当PA=PQ时,那么AQ520cos?A?2.因此AQ?2AP?cos?A.解方程AP3t?3?2(7?t)?35,得t?22643. 综上所述,t=1或
418或5或22643时,△APQ是等腰三角形.
图5 图6 图7
5.如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y. (1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少? (3)若y?12m,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
图1
解:(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此
DCEBm8?xCE?BF,即x?y.整理,得y关于x的函数关系为y??128mx?mx.
(2)如图2,当m=8时,y??18x2?x??18(x?4)2?2.因此当x=4时,y取得最大值为2. (3) 若y?12m,那么12m??1mx2?8mx.整理,得x2?8x?12?0.解得x=2或x=6.要使△DEF
为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y =2代入y?12m,得m=6(如图3);将x=y =6代入y?12m,得m=2(如图4).
图2 图3 图4
6.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2 图3
解:(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G. 在Rt△BEG中,BE?12AB?2,∠B=60°, 所以BG?BE?cos60??1,EG?BE?sin60??3.
所以点E到BC的距离为3.
(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.
因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.
①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不是否发生改变.