高中数学优质学案
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．
知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 向量垂直 【预习评价】
(1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________． [解析] a·b＝(－1)×2＋3×4＝10． [答案] 10
(2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________． [解析] 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2． [答案] 2
知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．
→
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2．
1
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即：a·b＝x1x2＋y1y2 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 高中数学优质学案
3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 x1x2＋y1y2a·b
cos θ＝＝22． 2|a||b|x1＋y1·x22＋y2【预习评价】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________． [解析] 由|a|＝|b|得[答案] ±22
(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
3×1＋?－1?×?－2?2[解析] 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以
210·5π
θ＝． 4
π
[答案]
4
42＋?－1?2＝x2＋32，解得x＝±22．
题型一 数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( ) A．10 C．3
B．－10 D．－3
[解析] a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
[答案] B
规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下
2
高中数学优质学案 几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． 【训练1】 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10． (1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型二 平面向量的模
【例2】 (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A．5 C．25
B．10 D．10
???2x－4＝0，?x＝2，[解析] 因为a⊥c，b∥c，所以?解得?
2y＋4＝0，y＝－2，????
所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝10． [答案] B
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
[解析] 由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)， 则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)． 令y＝|a＋b|＋|a－b| ＝＝
（2＋cos θ）2＋sin2θ＋5＋4cos θ＋
（cos θ－2）2＋sin2 θ
5－4cos θ，
则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20]．
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，
3
高中数学优质学案
(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25. [答案] 4 25
规律方法 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝
x2＋y2．
【训练2】 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝( ) A．5 C．5
[解析] ∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5． [答案] C
考查 方向 方向1 向量的夹角问题
15【例3-1】 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝，则a与c的
2夹角为( )
πA. 6
πB. 35πD. 6
题型三 平面向量的夹角和垂直问题 B．10 D．25
2π
C. 3
15
[解析] 由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
25－25a·c1
∴c·a＝－，设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－．
2|a||c|25×5
4
高中数学优质学案
2π
∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 3[答案] C
方向2 向量垂直问题
【例3-2】 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
77A．(，)
9377C．(，)
39
77B．(－，) 3977
D．(－，－)
93
[解析] 设c＝(x，y)，则a＋c＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，
??－3?x＋1?－2?y＋2?＝0，
由题意知?
??3x－y＝0，
?x＝－9，解得?7
y＝－?3.7
77即c＝(－，－)．
93[答案] D
规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos a·b
θ＝＝|a||b|
x1x2＋y1y2
2＋y2·x11
2
x22＋y2
直接求出cos θ．
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.a·b
利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为
|a||b|180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【训练3】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
5
高中数学优质学案 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
